Странные капризы простых дробей

[ivanovbp]

Из школьной алгебры известна такая формула $\frac{ab}{c}$ = $\frac{a}{c} \cdot b$
Никаких оговорок, замечаний, ограничений не приводится. Формула используется широко и повсеместно. Меня угораздило её проверить. И вот результаты: принято a = 12 b = 8 c = 3
для выражения $\frac{ab}{c}$ имем $\frac{12 \cdot 8}{3} = \frac{96}{3} = 32$
для выражения $\frac{a}{c} \cdot b$ имеем $\frac{12}{3} \cdot 8 = 4 \cdot 8 = 32$
Результаты совпадают - вопросов никаких
Но! Поменяю порядок цифр: a = 8 b = 12 c = 3
Для выражения $\frac{a \cdot b}{c}$ имем $\frac{8 \cdot 12}{3}$ = $\frac{96}{3}$ = 32
Для выражения $\frac{a}{c} $\cdot b$ имем $\frac{8}{3} \cdot 12 = $\left\lbrace2,666..(6)....\right\rbrace $\cdot 12$$ - батюшки, точный результат подсчитать невозможно! Ссылка на "приблизительно" неуместна, математика - наука точная.
Так в чём дело? Не точна формула? Или надо ограничить сферу её применения? И как быть в случае, если записано
$8 : 2 \cdot 4 = ?
Напрашивающийся ответ "сначала умножение, потом - деление" нужно как-то обосновать. Я вот не помню такого строго правила в математике

[wrest]

ivanovbp в сообщении #1572771 писал(а):

батюшки, точный результат подсчитать невозможно!

А что конкретно значит "подсчитать"? Например, по вашему "одна треть" это что-то "неточное"?

-- 06.12.2022, 10:05 --

ivanovbp в сообщении #1572771 писал(а):

Так в чём дело?

Все как обычно: дело в определениях и неверном их понимании/использовании. Вы немножко как в детском саду, где не знают как можно разделить восемь яблок на три человека поровну.

[пианист]

ivanovbp в сообщении #1572771 писал(а):

$2,666..(6)....\cdot 12$

$2,66..\cdot12 = 2\cdot12 + 0,66..\cdot12 = 24 + 0,66..\cdot3\cdot4 = 24 + (0,66..\cdot3)\cdot4 = 24 + (0,6\cdot3 + 0,06\cdot3 + ..)\cdot4 = 24 + (1,8 + 0,18 + ..)\cdot4 = 24 + 1,99..\cdot4 = 24 + (2 - 0,00..)\cdot4 = 24 + 2\cdot4 = 32$

[ivanovbp]

wrest в сообщении #1572775 писал(а):

Все как обычно: дело в определениях и неверном их понимании/использовании. Вы немножко как в детском саду, где не знают как можно разделить восемь яблок на три человека поровну.

А по существу можно что-то сказать?
для пианист: вы, видимо не обратили внимания, что цифра 6 - в периоде

[wrest]

ivanovbp в сообщении #1572787 писал(а):

А по существу можно что-то сказать?

А это и было по существу. Запись $8/3$ ну или $2\frac23$ это точная запись числа.

[пианист]

ivanovbp в сообщении #1572787 писал(а):

вы, видимо не обратили внимания, что цифра 6 - в периоде

Обратил.

[gris]

А кто нас привязывает к десятичной системе? Возьмём троичную и все дела.
$12_{10}=110_{3};\; 8_{10}=22_{3};\; 3_{10}=10_{3}$
Переходим.
$110\;:\;10=11;\;\; 22\cdot 11=1012$

$22\;:\;10=2.2; \;\;2.2\cdot 110=1012$

И никаких периодов! Выбором подходящей системы счисления можно обойтись без них. Дробь без периодов! Спросите у Роулинг, что это за штука.

[wrest]

gris в сообщении #1572792 писал(а):

И никаких периодов! Выбором подходящей системы счисления можно обойтись без них.

Причем можно и с нецелыми основаниями «Дробная система счисления»

[Евгений Машеров]

1. Формула точна, вводить правило "сначала умножение, потом деление" не нужно.
2. Ошибка мнимая. Она порождена тем, что в виде десятичной дроби с конечным числом разрядов удаётся записать не все простые дроби. Если знаменатель имеет сомножители, отличные от 2 и 5, можно лишь записать бесконечную дробь с периодически повторяющимися последовательностями цифр.
3. Это не означает невозможности работать с такими дробями, каждой из них соответствует простая дробь, в Вашем случае $\frac 8 3$. Благодаря периодичности перевод прост, бесконечно долго считать не нужно
4. На практике возникает желание вместо периодической дроби использовать округлённое значение. В этом случае от перемены сомножителей возможна ошибка, но она порождена не "свойствами дробей", а ошибкой округления. В некоторых случаях в вычислительной математике имеет смысл менять порядок сомножителей или слагаемых ради повышения точности, поскольку числа хранятся в виде конечного числа разрядов, и при их записи неизбежна ошибка. Но вопрос сложнее, чем простое правило "сначала умножение, потом деление", предложенное Вами.

[ivanovbp]

wrest в сообщении #1572789 писал(а):

А это и было по существу. Запись $8/3$ ну или $2\frac23$ это точная запись числа.

И всё-таки: почему я не могу сначала разделить 8 на 3, а потом результат умножить на 12 ?
И каков ответ в случае 8 : 2 $\cdot 12$ = ?

[mihaild]

ivanovbp в сообщении #1572826 писал(а):

почему я не могу сначала разделить 8 на 3, а потом результат умножить на 12

Лично вы - потому что не умеете обращаться с бесконечными десятичными дробями. Остальные участники темы могут.

[Евгений Машеров]

1. А кто Вам сказал, что не можете? Разделите 8 на 3, получив восемь третьих, умножив результат 12, получим 32. Всё работает.
2. 48. Вы бы посложнее пример придумали, ну, скажем, чтобы в ответе 42, ответ на Главный Вопрос

[wrest]

ivanovbp в сообщении #1572826 писал(а):

И всё-таки: почему я не могу сначала разделить 8 на 3, а потом результат умножить на 12 ?

Этого я не знаю. Я вот - могу.

ivanovbp в сообщении #1572826 писал(а):

И каков ответ в случае 8 : 2 $\cdot 12$ = ?

48

P.S. Я бы скзал так. Числа живут отдельно от их записи. Какие-то числа вы можете записать точно одни способом, какие-то другим. Рациональные числа вы можете записать точно в виде несократимой дроби, где числитель и заменатель записаны, например в десятичной системе счисления. Некоторые математические программы именно так рациональные числа и хранят, в виде пары объектов: числителя и знаменателя. Соответственно, в таких программах отсутствует потеря точности при производстве арифметических операций.

[ozheredov]

ivanovbp
Вы свою делёжку наверняка производите на калькуляторе, или в численном пакете для компа. Ознакомьтесь с машинным представлением числа (и с тем, что int и double это разные объекты) и с тем, как производятся операции с ними.
P.S. На собеседованиях программеров любят вопросы: типа покажут тривиальное арифметическое выражение и спросят, что получится в результате на разных наборах микросхем

[Евгений Машеров]

Заинтересовался я прочими сообщениями топикстартера, желая понять, это троллинг такой, или школьника повело. Ну, что сказать - ферматист. И почему я не удивлён?