вероятность того, что уравнение имеет решение (геометрич вер

[Alexiii]

Есть такая задача:
в единичном кубе выбираем случайно точку с координатами $(x,y,z)$.
Какова вероятность,что уравнение $xt^2+yt+z=0$ будет иметь хотя бы один действительный корень?

Чтобы это уравнение относительно $t$ имело корни в вещественных числах,необходимо и достаточно,чтобы дискриминант $D$ был неотрицательным,то есть
$D=y^2-4xz\geqslant 0$
Наша вероятность равна объему тела,ограниченного единичным кубом и поверхностью $y^2-4xz=0$,но такой подход сложен.
Как сделать по-другому?

Добавлено спустя 43 минуты 20 секунд:

Да и представить графически такую поверхность сложно!

[ewert]

да ничего сложного, это -- некий конус, но с вычислениями -- да, морока, а иначе -- никак

[Alexiii]

ответ же просто выглядит: $\frac{1}{9}+\frac{ln2}{6}$

[Henrylee]

Насчет "иначе никак" я бы не торопился с выводами. на самом деле задача элементарно решается без геометрических представлений.
Ясно ведь, что, поскольку совместное распределение $(x,y,z)$ известно, то
1. Легко вычисляется плотность распределения с.в. $xz$
2. Легко находится вероятность события $\{xz\leqslant y^2/4\}$, причем "самая морока" заключена в вычислении двойного инеграла, который слету сводится даже не к повторному, а к однократному, который, в свою очередь, легко берется по частям.

Добавлено спустя 12 минут 6 секунд:

У меня получилось

$$ \frac16+\frac16\ln 2 $$

мог легко обсчитаться

[gris]

ewert писал(а):

да ничего сложного, это -- некий конус

После этой подсказки представить тело легко. Ось Y направим вверх. Вершина конуса - начало координат. Основание лежит в верхней грани куба и является пятиугольником с одной кривой стороной - куском гиперболы $4xz = 1$.
Нам нужен объем части, примыкающей к оси Y. Он равен трети произведения высоты, равной 1, на площадь основания, которая равна площади прямоугольника со сторонами 1 и 1/4 и площади под гиперболой, которую легко посчитать через интеграл от 1/4 до 1 от функции $1/4z$.

Короче, у меня получилось $ \frac {1} {12} + \frac {ln2} {6}$
Мог легко обсчитаться (C)
Кстати, если взять среднее между этим ответом и ответом Henrylee, то получится то, что нужно.

[Henrylee]

gris писал(а):

Кстати, если взять среднее между этим ответом и ответом Henrylee, то получится то, что нужно.

Не, так $1/8$, а там $1/9$

[TOTAL]

Alexiii писал(а):

ответ же просто выглядит: $\frac{1}{9}+\frac{ln2}{6}$

Ничего себе простой! Почему же ни у кого он не получается!
Вот у меня тоже вышло совсем новенькое: $\frac{5}{36}+\frac{ln2}{6}$
Считайте кто-нибудь ещё!

[gris]

Henrylee, Я, вообще-то, имел в виду среднегармоническое между $\frac {1} {12}$ и $\frac 1 6}$

[Henrylee]

gris писал(а):

Henrylee, Я, вообще-то, имел в виду среднегармоническое между $\frac {1} {12}$ и $\frac 1 6}$

Вах, шайтан!

Добавлено спустя 27 минут 15 секунд:

Пересчитал внимательней. Вышло как у TOTAL $5/36$

[gris]

Ну вот, теперь среднее арифметическое

[ewert]

да, у меня тоже 5/36. Странно, что логарифмы у всех одинаковы.

Всё равно занудство.

Henrylee писал(а):

1. Легко вычисляется плотность распределения с.в. $xz$
2. Легко находится вероятность события $\{xz\leqslant y^2/4\}$,

Это некоторое жульничество. Распределение $xz$ уже требует интегрирования, так что всё равно двойной интеграл и выходит, только логически сложнее. Уж проще по рабоче-крестьянски посчитать объём в декартовых координатах.

Хотя ответы и впрямь получаются одинаковыми. Почему-то...

[Henrylee]

ewert писал(а):

Это некоторое жульничество. Распределение $xz$ уже требует интегрирования, так что всё равно двойной интеграл и выходит, только логически сложнее.

Да бросьте Вы, какой двойной.. тривиальный он, устно считается, для тех, кто может квадрат на листке нарисовать.

$$ P\left\{x\leqslant\frac{t}{z}\right\}=t+\int\limits_t^1\frac{t}{z}dzб\quad t\in(0,1] $$

Ну а второй чуть сложнее. В целом, кроме умения находить первообразную, ничего и не надо.
Рисовать в уме пересечение конусов с кубами и считать тройные (вместо 2-х простых однократных) это "матэстетство (с)ewert"

[ewert]

Henrylee писал(а):

$$ P\left\{x\leqslant\frac{t}{z}\right\}= $$

а я, вот честно, не понял, какое отношение этот замечательный интеграл имеет к исходной задаче

[Henrylee]

ewert писал(а):

Henrylee писал(а):

$$ P\left\{x\leqslant\frac{t}{z}\right\}= $$

а я, вот честно, не понял, какое отношение этот замечательный интеграл имеет к исходной задаче

Прмямое. Это же функция распределения с.в. $xz$.
О! Юбилейный пост. Номер 666.

[gris]

свят свят свят