Исследование на равномерную сходимость.

[George M]

Здравствуйте, я исследую следующий интеграл на равномерную сходимость:

$$ \int\limits_{1}^{+\infty} \frac{1}{ln(x)^{t}} \frac{1}{1+x^{2}}dx \,\,\,\, t\in(0,1) $$

Я доказал, что он является сходящимся, но испытываю трудности с тем, чтобы исследовать его на равномерную сходимость. Какой инструмент в исследовании приведёт меня к успеху?

[Padawan]

George M в сообщении #1572229 писал(а):

Я доказал, что он является сходящимся

При каких значениях $t$?

[George M]

При $t<1$

[Padawan]

Критерий Коши приведёт к успеху (чтобы доказать отсутствие равномерной сходимости при $t\in (0, 1)$

[vpb]

George M в сообщении #1572229 писал(а):

Какой инструмент в исследовании приведёт меня к успеху?

Что-нибудь попроще решите сначала, вроде $\int_0^1 (1/x^t) dx$, $t\in(0,1)$.

[Combat Zone]

Если $t$ в задании стоит именно на этом месте и нет опечаток при наборе, то интеграл расходится поточечно.

[GAA]

Combat Zone, в каком смысле «расходится поточечно»?

$$\int_1^{\infty} \frac 1{\ln^t x}\frac 1{1+x^2} dx = \int_1^A \frac 1{\ln^t x}\frac 1{1+x^2} dx + \int_A^{+\infty} \frac 1{\ln^t x}\frac 1{1+x^2} dx.$$

$$\int_1^A \frac 1{\ln^t x}\frac 1 {1+x^2} dx = \int_0^{A-1} \frac 1{\ln^t (1+y)}\frac 1{1+(1+y)^2} dy \sim \int_0^{A-1} \frac 1 {2y^t} dy.$$

(Первый интеграл сходится при $t < 1$.)

$$\int_A^{+\infty} \frac 1{\ln^t x}\frac 1 {1+x^2} dx < \int_A^{+\infty} \frac 1 {x^2}dx = 1/A. $$

(При $t>0$.)
Исходный интеграл сходится на указанной в условии области.

[F111mon]

GAA в сообщении #1572245 писал(а):

Combat Zone, в каком смысле «расходится поточечно»?

В Вашем сообщении и у топик-стартера разные функции же:
1) Сначала x возводится в степень t, потом берется логарифм
2) Сначала берется логарифм от x, потом возводится в степень t

[GAA]

F111mon, нет.
У ТС $\ln(x)^t$ — это означает $(\ln(x))^t$. У меня $\ln^t x$ — это означает $(\ln(x))^t$.

-- Fri 02.12.2022 10:14:46 --

F111mon в сообщении #1572248 писал(а):

Сначала x возводится в степень t, потом берется логарифм

Это записывается или $\ln x^t$, или $\ln(x^t)$.

[F111mon]

Скобки означают только то, что выражение внутри скобок вычисляется раньше, чем то, что стоит снаружи.
В данном случае внутри скобок вычислений нет, поэтому выражение со скобками значит то же самое, что и выражение без скобок (а как его понимать, Вы указали в последнем предложении).

[GAA]

«Открывающая» скобка после имени функции указывает начало списка аргументов. Список аргументов должен быть завершён закрывающей скобкой.
Дальше на тему оформления текстов я писать не буду.

[RIP]

Для док-ва отсутствия равномерной сходимости ещё можно воспользоваться свойствами последней. В частности, из равномерной сходимости следовала бы сходимость на отрезке $[0,1]$.