Математический анализ с абстрактной точки зрения

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1571761 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1571623 писал(а):

По поводу матанализа. У меня, например, есть подозрение, что всю теорию из тех же обоих томов Зорича можно было бы уложить страниц в 300-400 (а не в полторы тысячи, как там). Без потери содержания разумеется. Почему при этом был выбран путь написания десятков однотипных учебников вместо одного нормального абстрактного, мне непонятно. Единственный из известных мне учебников с небольшой претензией на абстрактность - это Лоран Шварц. Но это все равно слишком далеко от того, что хотелось бы видеть.

Чем толще книга, тем проще её читать. Большой объём Зорича происходит отчасти из большого количества разобранных примеров. А у Шварца их гораздо меньше и упражнений совсем нет. Зорич довольно самобытный учебник (к тому же с претензией на абстрактность) и не принадлежит к ряду однотипных. Если хочется больших абстракций, то можно посмотреть "Лекции по математическому анализу" Львовского или трёхтомник Amann и Escher "Analysis" . Последние книги я не читал, но думаю проработать в некоторых местах. Если кто их читал, то просьба поделиться впечатлением. Замечание для топик-стартера - обсуждаемые книги не для вводного чтения по анализу.

Обсуждение первоначально шло в теме На стыке математики, психики и юношеского максимализма., но там оно является, очевидно, оффтопом. Поэтому я решил создать отдельную тему. Весь контекст находится в цитате выше.

Предмет обсуждения касается матанализа и структуры его понятий.

В общем, дело в том, что мне хочется понять, есть ли возможность "сжать" классическое построение матанализа за счет хорошего обобщения (я с большой долей уверенности считаю, что такая возможность есть), и как эта "сжатая" версия матанализа будет выглядеть. К слову, под "классическим" построением матанализа я понимаю, как учебник, условно, Фихтенгольца, так и, условно, Зорича. По мне это все более менее один и тот же уровень абстракции.

Возьмем, например, понятие предела. В топологии вся эта история начинается с открытых множеств - их берут как первичные. Мне такое построение сначала казалось плохой идеей, но потом я узнал категорное определение предела и все встало на свои места. Ну и окончательно заполировалось после того, как я узнал теорему, связывающую топологический предел и категорный предел. Но если оставаться "внутри" топологии, совершенно непонятно, почему теория выстроена так, как она выстроена.

Я не случайно начал с этого примера. Дело в том, что теория категорий по своему "характеру" кажется "глобальной". В категорном пределе нету никаких последовательностей, стремлений, потенциальных бесконечностей, процессов и прочей ерунды. Конструкция кажется статичной и вместе с этим невероятно правильной!

Можно рассмотреть дифференциальное исчисление. Я не очень согласен с тем, что большой объем Зорича происходит из обилия примеров. Мне кажется, все дело в построении самого курса. Мне, например, хотелось бы, чтобы не было деления на одномерный и многомерный анализ (я понимаю, что есть чисто одномерные вещи - ну и пусть они идут отдельными примечаниями). Разве нельзя построить дифференциальное исчисление сразу для функций нескольких переменных? Конечно можно. Дифференциал - это линейный оператор, функции рассматриваются над банаховыми пространствами. В общем, примерно в стиле Картана ("Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы"). И никакого одномерного случая. А может быть правильный уровень абстракций - гладкие многообразия (дифференциал там тоже будет действовать из одного касательного пространства в другое)?

Является ли это наилучшим уровнем абстракции? Я на 100% уверен, что нет. Во всей этой теории из всех щелей торчат уши теории категорий. Даже в этом примере с гладкими многообразиями и дифференциалами торчат уши какого-то функтора.

И точно так же, как раньше мне был непонятен топологический взгляд на предельные конструкции, сейчас мне непонятен вот этот классический взгляд на дифференциалы, как линейные операторы на касательных пространствах и интегралы, со всей этой историей в духе теории меры. И когда по итогу окажется, что производная - это какой-нибудь hom-функтор, а интеграл - это какое-нибудь естественное преобразование, все опять встанет на свои места. (ну там еще по дороге связь теории меры с алгебрами фон Неймана, о которой говорил kp9r4d и еще куча всего).

А производная обязательно окажется категорной конструкцией, в этом я даже не сомневаюсь. В конце концов, не зря же существуют "категории с дифференцированием" или как там они правильно называются.

Лично мой план максимум - конечно же найти учебник матанализа в таком духе. Я понимаю, что это маловероятно, поэтому давайте хотя бы просто обсудим, как этот недостижимый идеал должен выглядеть.

[Aritaborian]

EminentVictorians в сообщении #1571785 писал(а):

поэтому давайте хотя бы просто обсудим, как этот недостижимый идеал должен выглядеть

А также кому он нужен. На мой взгляд, это какой-то математический артхаус. Учиться-то аназизу первокурсники всё равно будут по Фихтенгольцу/Кудрявцеву/Зоричу.

[Anton_Peplov]

Просто не нужно называть это учебником. Не всякое изложение предмета - учебное. Книги Бурбаки писались не для того, чтобы по ним учиться.
Взглянуть на математический анализ как на частный случай высоких теорий интересно. Я бы не отказался от такой книги в библиотеке.
..

[svv]

EminentVictorians в сообщении #1571785 писал(а):

Лично мой план максимум - конечно же найти учебник матанализа в таком духе. Я понимаю, что это маловероятно, поэтому давайте хотя бы просто обсудим, как этот недостижимый идеал должен выглядеть.

Допустим, такого учебника пока не существует. Вы знаете и матанализ, и теорию категорий. Вы могли бы сами что-то написать и тем заполнить пустоту?

EminentVictorians в сообщении #1571785 писал(а):

Дифференциал - это линейный оператор, функции рассматриваются над банаховыми пространствами. В общем, примерно в стиле Картана ("Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы"). И никакого одномерного случая. А может быть правильный уровень абстракций - гладкие многообразия (дифференциал там тоже будет действовать из одного касательного пространства в другое)?

На всякий случай: внешний дифференциал дифформы и дифференциал отображения — это разные понятия. Для внешнего дифференциала $d^2=0$, для дифференциала отображения — нет. О подобных ситуациях Вас предупреждал mihaild:

mihaild в сообщении #1570944 писал(а):

Насколько я понимаю, тут может быть проблема - при обобщениях понятия, которые раньше совпадали, становятся разными, и непонятно, какое из них считать обобщением. Например, какое правильное обобщение производной - производная Фреше или квазипроизводная?

[пианист]

EminentVictorians
Насколько я понял из бесед с kp9r4d, имеется объективная трудность: в категории плохо вписываются джеты.

[krum]

EminentVictorians в сообщении #1571785 писал(а):

И точно так же, как раньше мне был непонятен топологический взгляд на предельные конструкции, сейчас мне непонятен вот этот классический взгляд на дифференциалы, как линейные операторы на касательных пространствах и интегралы, со всей этой историей в духе теории меры. И когда по итогу окажется, что производная - это какой-нибудь hom-функтор, а интеграл - это какое-нибудь естественное преобразование, все опять встанет на свои места.

Не встанет. Пониманеие матемиатики определяется умением решать задачи. Зорич, Фихтенгольц, Картан, другие классики это знают, поэтому их учебники написаны так как написаны -- из личного опыта исследовательской работы.

[EminentVictorians]

svv в сообщении #1571821 писал(а):

Допустим, такого учебника пока не существует. Вы знаете и матанализ, и теорию категорий. Вы могли бы сами что-то написать и тем заполнить пустоту?

Ну это Вы уж загнули)) Я могу рассказать, в какой точке я сейчас нахожусь.

Я какое-то время назад изучал алгебру по Винбергу. По началу алгебра казалась мне какой-то сомнительной наукой. Дело было не в том, что я не понимал алгебраические конструкции, а в том, что они казались мне какими-то искусственными, случайными. У меня было полно вопросов в духе зачем нужна линейность, почему в кольце именно дистрибутивность, в чем особая роль нейтрального элемента, почему определение нормы именно такое ну и так далее по порядку. Вопросов было действительно много, наверное почти по каждому алгебраическому объекту. Теория категорий сняла их все! И это учитывая, что я понял пока не слишком уж большой ее кусочек. Я просто хочу это как-то особенно подчеркнуть: алгебра, на мой взгляд - это целиком и полностью категорная наука. Я понимаю, что со мной могут не согласиться очень образованные и уважаемые люди, но меня в этом вопросе уже не переубедить. То построение курса, которое есть, например, у Винберга - оно ни разу не выбито из камня, как мне казалось раньше. Алгебру можно лепить, как пластилин. Менять определения на эквивалентные, подходить к теоремам с самых разных концов и т.д. И теория категорий будет играть в этом ключевую роль. Конечно, вот прям взять и написать учебник алгебры, который я посчитал бы правильным, я на данный момент не смогу, но эта задача по крайней мере а) обозрима, б) реалистична, в) понятна.

С матанализом история другая. Я не вижу, как эта теория должна выглядеть. Точнее вижу очень смутные ее очертания, понимаю, что она точно есть. Но это близко не тот уровень детализации, который я вижу по отношению к алгебре.

пианист в сообщении #1571833 писал(а):

Насколько я понял из бесед с kp9r4d, имеется объективная трудность: в категории плохо вписываются джеты.

Я просто про джеты узнал из этой же беседы Ну я помню свои первые впечатления, когда я прочитал их определение - они мне понравились. И как-то не кажется, что они не вписываются в теорию категорий. Вроде бы хороший такой объект, с алгебраическим духом (а это значит, что он должен нормально вписываться). Просто смотрите в чем дело. В теории категорий есть такие объекты, которые называются "концы". Их там обозначают значком интеграла, потому что внутри них можно заменять переменную, что похоже на соответствующий процесс в интеграле. И для них выполняется аналог теоремы Фубини! А уровень общности там очень даже серьезный. На фоне этого джеты кажутся совсем игрушечными объектами, для которых все должно нормально работать. Но оговорюсь, я говорю не с позиции полного понимания дела, а с позиции ощущений. Если Вы попросите вот прям взять и поместить джеты в категорный контекст - я конечно же не справлюсь.

Aritaborian, я же не предлагаю учить всех подряд по такому сценарию. Мне это надо лично для моих целей, чтобы сформировалось понимание.

[пианист]

К сожалению, не могу никак прокомментировать, не имею ни малейшего представления, в чем, собс-но, состоит эта трудность.
Про "концы" в категориях слышу первый раз, быстрое гугление ничего не дало (кроме концов стрелок ;).
Попробуйте пробежаться по ключевым понятиям в анализе (их не так много, не надо учебник писать). Как они могут быть выражены на языке категорий?

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1571851 писал(а):

джеты кажутся совсем игрушечными объектами

Один известный математик (не помню, кто именно) сказал, что в матанализе есть (только) две теоремы ;)

[eugensk]

пианист
А нет концов, есть только ends https://en.wikipedia.org/wiki/End_(category_theory)
(исходя из того, что русского варианта статьи не существует).

[VanD]

EminentVictorians в сообщении #1571785 писал(а):

Можно рассмотреть дифференциальное исчисление.

У Джета Неструева, как я понимаю, предлагается среди прочего и чисто алгебраический взгляд на джеты, как на представляющий объект. И дифференциальное исчисление там выстраивается чисто алгебраически. Может, имеет смысл заглянуть туда.

Вообще, по моим (крайне смутным) представлениям (некоторые) физики дошли примерно до этой же мысли, когда свалились в суперматематику в контексте калибровочных теорий и того, что именуется BV-BRST.

Но я привык думать, что по крайней мере с педагогической точки зрения математический анализ не бесполезен в таком виде, как есть -- без взвинчивания уровня абстрактности.

[пианист]

eugensk
Спасибо.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1571851 писал(а):

Вопросов было действительно много, наверное почти по каждому алгебраическому объекту. Теория категорий сняла их все!

Поделитесь: а по каким источникам Вы изучали теорию категорий?

[svv]

Из воспоминаний про И. М. Гельфанда:

Цитата:

Хочу отметить важное нечеткое понятие, внедрение которого И. М. пропагандировал — это «оптимальная степень общности» (может быть, он сам его и придумал). С выбором степени общности в математических рассуждениях постоянно сталкиваются многие математики. Например, при изложении новой теоремы из теории дифференциальных уравнений, что надо потребовать от функций, участвующих в ее формулировке? По здравому смыслу нежелательны уклоны как в недостаточную общность, так и в чрезмерную общность (последнее было свойственно ряду моих работ, что затрудняло даже мне их понимание). Выбор степени общности, который охватывает «все и только все» существенные на данный момент стороны, — большое искусство.

(А. Д. Мышкис. Советские математики. Мои воспоминания.)

[EminentVictorians]

пианист в сообщении #1571867 писал(а):

Попробуйте пробежаться по ключевым понятиям в анализе (их не так много, не надо учебник писать). Как они могут быть выражены на языке категорий?

Пусть дана аддитивная симметрическая моноидальная категория с модальностью коалгебры. Для них вводят такую штуку, которая называется integral combinator S. Насколько я понимаю, она берет стрелку $f: !A \otimes A \to B$ и возвращает стрелку $S[f]:!A \to B$. И вот этот integral combinator S обладает следующими свойствами (т.е. по сути определяется этими свойствами, как аксиомами):
1)Аддитивность: $S[f + g] = S[f] + S[g]$
2)"Линейная замена": из коммутативности диаграммы

$$\xymatrix{!A \otimes A \ar[d]_{!h \otimes h} \ar[r]^{f}& B \ar[d]_{k} \\\ !C \otimes C \ar[r]_{g} & D \\ }$$

следует коммутативность диаграммы

$$\xymatrix{!A \ar[d]_{!h} \ar[r]^{S[f]}& B \ar[d]_{k} \\\ !C \ar[r]_{S[g]} & D \\ }$$

3) Интегрирование константы: $S[(e \otimes 1)] = \varepsilon$
4) Правило Рота-Бакстера: $\triangle(S[f] \otimes S[g]) = S[(\triangle \otimes 1)(S[f] \otimes g)] + S[(\triangle \otimes 1)(1 \otimes \sigma)(f \otimes S[g])]$
5) Interchange rule: $S[S[f \otimes 1] \otimes 1] = S[(S[f \otimes 1] \otimes 1)(1 \otimes \sigma)]$

Далее вводится определение: Аддитивная симметрическая моноидальная категория с модальностью коалгебры и интегральным комбинатором называется интегральной категорией (integral category).

Взял вот отсюда: https://arxiv.org/pdf/1707.08211.pdf стр.9. (ну и сделал кривоватый перевод на русский) Отдельное спасибо KregSeptim, посоветовавшему мне эту статью.

Всю статью не читал, но это видимо самая главная ее часть - определение "категории интегрирования" (или "интегральной категории" - не знаю, как правильно).

И по всей видимости это наиболее общий подход к интегрированию.

Кроме integral categories есть и differential categories. Если категория одновременно differential и integral, и для нее выполняются

пианист в сообщении #1571867 писал(а):

две теоремы

(которые там называются "the two fundamental theorems of calculus")
то такая категория называется calculus category.

Ну и дальше все это дело спускается вниз, как я понимаю.

Ну и разумеется очень рекомендую хотя бы взглянуть на параграфы 9.5-9.6 у Маклейна (концы и ко-концы). Они тоже как-то со всем этим связаны, но сказать как конкретно - уже неподъемный для меня уровень.

Mikhail_K в сообщении #1571872 писал(а):

Поделитесь: а по каким источникам Вы изучали теорию категорий?

Книга Маклейн. Категории для работающего математика. (Читается шикарно! Даже я, открывая ее реже, чем хотелось бы, двигаюсь в относительно быстром темпе - уже чуть больше 100 страниц осилил).

[мат-ламер]

EminentVictorians
Разрешите к вам нескромный вопрос. Если хотите, то можете не отвечать. А зачем вам вообще анализ? По-моему, у вас отличное абстрактное алгебраическое мышление. Ну, и двигались бы в сторону алгебры, постепенно углубляясь. Может быть в сторону алгебраической топологии. Мне кажется в этих науках польза теории категорий более выражена, чем в анализе. Анализ в классическом его понимании, как мне кажется, сугубо прикладная наука и ориентирован на то, как что-нибудь подсчитать, а не на то, как что-нибудь изящно обосновать. Хотя, может я и ошибаюсь.

Да, в современных областях анализа категории применяются. Учебник Хелемского по функциональному анализу тому пример. Другие его книги тоже, но я их не читал. Но это уже не классический анализ.