Банахова алгебра

[matanga]

Пусть $B$ - банахово пространство функций $n$ переменных (вещественных) с функцией, тождественно равной нулю. Возьмем это $B$ как пополнение пространства финитных бесконечно дифференцируемых функций в некоторой норме.
$B$ - банахова алгебра если, в $B$ определена операция умножения функций (например, пространство непрерывных функций является банаховой алгеброй, а пространство $L_{2}$ не является).
Необходимо доказать следующее утверждение:
$B$ - банахова алгебра $\Longleftrightarrow B \subset C$

Если кто нибудь имеет какие либо соображения по этому поводу и может помочь мне, напишите, пожалуйста!

[zoo]

сначала научитесь внятно формулировать

[matanga]

А что в моей формулировке невнятного?

[Хорхе]

matanga писал(а):

А что в моей формулировке невнятного?

Ну, например, что такое $C$?

[zoo]

matanga в сообщении #157082 писал(а):

$B$ - банахова алгебра если, в $B$ определена операция умножения функций

судя по этому "орпеделению", Вы даже учебник не читали, хватит того, что за Вас предыдущую задачу решили

[matanga]

$C$ - пространство непрерывных функций

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

Я выкладываю задачу в том виде, в котором мне ее предложил преподаватель. За предыдущую задачу - спасибо. Но если это научный форум и раздел - "Помогите решить\разобраться", то я не думал, что здесь такие жестокие условия - если мне помогли в решении одной задачи, то с другой уже не помогут...

[Henrylee]

matanga писал(а):

Я выкладываю задачу в том виде, в котором мне ее предложил преподаватель

Видите ли.. кроме текста у задачи есть еще и контекст. Который, как правило, автору темы (и его преподавателю) известен, а остальным, вообще говоря, вовсе не очевиден.

[matanga]

Честно сказать, мне этот контекст тоже неизвестен. Все, что я знаю, написано в первом посте...
С этой целью я и разместил здесь тему, потому что даже не предполагаю, в каком направлении стоит искать доказательство...

[AD]

matanga в сообщении #157082 писал(а):

с функцией, тождественно равной нулю.

Что это было??

matanga в сообщении #157082 писал(а):

Возьмем это $B$ как пополнение пространства финитных бесконечно дифференцируемых функций в некоторой норме.

То есть всё наоборот: берем пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$, берем на нем норму и пополняем. И тут - стоп: Почему элементы пополнения являются функциями? Чтобы это можно было утверждать, должно быть не пополнение, а замыкание в некотором объемлющем пространстве функций, которое само уже полно. Ну или надо потом доказывать, что полученное пополнение как-то вкладывается в пространство функций.
Или вы сразу говорите: "пусть это получились функции"?

matanga в сообщении #157082 писал(а):

$B$ - банахова алгебра если, в $B$ определена операция умножения функций (например, пространство $C$ непрерывных функций является банаховой алгеброй, а пространство $L_2$ не является).

Всё ужасно. По-человечески это говорится примерно так: операция поточечного перемножения функций не выводит за пространство $B$. Кстати, банаховость уже предполагается, да? А ведь, например, простанство $L_2$ является банаховой алгеброй относительно, скажем, сверточного умножения.

Добавлено спустя 6 минут 32 секунды:

matanga писал(а):

$C$ - пространство непрерывных функций

Да? И какая в нем норма у функции $f(x_1,\ldots,x_n)=x_1$? Полагаю, имеется в виду пространство ограниченных непрерывных функций? Или стремящихся к нулю на бесконечности? Или финитных?

matanga писал(а):

Необходимо доказать следующее утверждение:
$B$ - банахова алгебра $\Longleftrightarrow B \subset C$

Ну то есть окончательно формулируем так.

Пусть $B$ - некоторое банахово пространство функций на $\mathbb{R}^n$, в котором всюду плотно пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$. Тогда $B$ является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения в том и только в том случае, если $B\subset C(\mathbb{R}^n)$.

(где про $C$ ждем уточнений).
_________________

Вообще занятное утверждение.

[Brukvalub]

AD в сообщении #157466 писал(а):

Ну то есть окончательно формулируем так.

Пусть $B$ - некоторое банахово пространство функций на $\mathbb{R}^n$, в котором всюду плотно пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$. Тогда $B$ является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения в том и только в том случае, если $B\subset C(\mathbb{R}^n)$.

Добавлю тогда уж и половинку своей мысли: похоже, что нужно доказать примерно следующее - норма , относительно которой В является банаховым, не слабее некой гипотетической стандартной нормы в C(\mathbb{R}^n) тогда и только тогда, когда эта норма удовлетворяет соотношению $\left\| {f \cdot g} \right\| \le C\left\| f \right\| \cdot \left\| g \right\|$ с универсальной константой С.. Вот только верно ли это? (есть подозрение, что - неверно).

[zoo]

Brukvalub в сообщении #157488 писал(а):

не слабее некой гипотетической стандартной нормы в C(\mathbb{R}^n)

а про стандартную норму в $C(\mathbb{R}^n)$ можно по-подробнее

[Brukvalub]

zoo в сообщении #157566 писал(а):

а про стандартную норму в $C(\mathbb{R}^n)$ можно по-подробнее

Я подозреваю, что речь может идти о пространстве всех ограниченных непрерывных функций с Чебышевской нормой.

[zoo]

Очевидно при надлежащих уточнениях речь идет о следствии теоремы Стоуна-Вейерштрасса

[AD]

zoo в сообщении #157593 писал(а):

Очевидно при надлежащих уточнениях речь идет о следствии теоремы Стоуна-Вейерштрасса

А что это такое? Вообще, погуглил - народ проходит ... А мы не проходили