2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Банахова алгебра
Сообщение10.11.2008, 11:42 
Пусть $B$ - банахово пространство функций $n$ переменных (вещественных) с функцией, тождественно равной нулю. Возьмем это $B$ как пополнение пространства финитных бесконечно дифференцируемых функций в некоторой норме.
$B$ - банахова алгебра если, в $B$ определена операция умножения функций (например, пространство непрерывных функций является банаховой алгеброй, а пространство $L_{2}$ не является).
Необходимо доказать следующее утверждение:
$B$ - банахова алгебра $\Longleftrightarrow B \subset C$

Если кто нибудь имеет какие либо соображения по этому поводу и может помочь мне, напишите, пожалуйста!

 
 
 
 
Сообщение10.11.2008, 14:37 
Аватара пользователя
сначала научитесь внятно формулировать

 
 
 
 
Сообщение10.11.2008, 16:05 
А что в моей формулировке невнятного? :shock:

 
 
 
 
Сообщение10.11.2008, 16:27 
Аватара пользователя
matanga писал(а):
А что в моей формулировке невнятного? :shock:

Ну, например, что такое $C$?

 
 
 
 
Сообщение10.11.2008, 16:34 
Аватара пользователя
matanga в сообщении #157082 писал(а):
$B$ - банахова алгебра если, в $B$ определена операция умножения функций

судя по этому "орпеделению", Вы даже учебник не читали, хватит того, что за Вас предыдущую задачу решили

 
 
 
 
Сообщение10.11.2008, 16:40 
$C$ - пространство непрерывных функций

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

Я выкладываю задачу в том виде, в котором мне ее предложил преподаватель. За предыдущую задачу - спасибо. Но если это научный форум и раздел - "Помогите решить\разобраться", то я не думал, что здесь такие жестокие условия - если мне помогли в решении одной задачи, то с другой уже не помогут...

 
 
 
 
Сообщение11.11.2008, 10:57 
Аватара пользователя
matanga писал(а):
Я выкладываю задачу в том виде, в котором мне ее предложил преподаватель

Видите ли.. кроме текста у задачи есть еще и контекст. Который, как правило, автору темы (и его преподавателю) известен, а остальным, вообще говоря, вовсе не очевиден.

 
 
 
 
Сообщение11.11.2008, 21:09 
Честно сказать, мне этот контекст тоже неизвестен. Все, что я знаю, написано в первом посте...
С этой целью я и разместил здесь тему, потому что даже не предполагаю, в каком направлении стоит искать доказательство... :roll:

 
 
 
 
Сообщение11.11.2008, 21:55 
matanga в сообщении #157082 писал(а):
с функцией, тождественно равной нулю.
Что это было??
matanga в сообщении #157082 писал(а):
Возьмем это $B$ как пополнение пространства финитных бесконечно дифференцируемых функций в некоторой норме.
То есть всё наоборот: берем пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$, берем на нем норму и пополняем. И тут - стоп: Почему элементы пополнения являются функциями? Чтобы это можно было утверждать, должно быть не пополнение, а замыкание в некотором объемлющем пространстве функций, которое само уже полно. Ну или надо потом доказывать, что полученное пополнение как-то вкладывается в пространство функций.
Или вы сразу говорите: "пусть это получились функции"?
matanga в сообщении #157082 писал(а):
$B$ - банахова алгебра если, в $B$ определена операция умножения функций (например, пространство $C$ непрерывных функций является банаховой алгеброй, а пространство $L_2$ не является).
Всё ужасно. По-человечески это говорится примерно так: операция поточечного перемножения функций не выводит за пространство $B$. Кстати, банаховость уже предполагается, да? А ведь, например, простанство $L_2$ является банаховой алгеброй относительно, скажем, сверточного умножения.

Добавлено спустя 6 минут 32 секунды:

matanga писал(а):
$C$ - пространство непрерывных функций
Да? И какая в нем норма у функции $f(x_1,\ldots,x_n)=x_1$? Полагаю, имеется в виду пространство ограниченных непрерывных функций? Или стремящихся к нулю на бесконечности? Или финитных?

matanga писал(а):
Необходимо доказать следующее утверждение:
$B$ - банахова алгебра $\Longleftrightarrow B \subset C$
Ну то есть окончательно формулируем так.

Пусть $B$ - некоторое банахово пространство функций на $\mathbb{R}^n$, в котором всюду плотно пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$. Тогда $B$ является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения в том и только в том случае, если $B\subset C(\mathbb{R}^n)$.

(где про $C$ ждем уточнений).
_________________

Вообще занятное утверждение. :roll:

 
 
 
 
Сообщение11.11.2008, 23:35 
Аватара пользователя
AD в сообщении #157466 писал(а):
Ну то есть окончательно формулируем так.

Пусть $B$ - некоторое банахово пространство функций на $\mathbb{R}^n$, в котором всюду плотно пространство $C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$. Тогда $B$ является банаховой алгеброй относительно поточечного умножения в том и только в том случае, если $B\subset C(\mathbb{R}^n)$.
Добавлю тогда уж и половинку своей мысли: похоже, что нужно доказать примерно следующее - норма , относительно которой В является банаховым, не слабее некой гипотетической стандартной нормы в C(\mathbb{R}^n) тогда и только тогда, когда эта норма удовлетворяет соотношению $\left\| {f \cdot g} \right\| \le C\left\| f \right\| \cdot \left\| g \right\|$ с универсальной константой С.. Вот только верно ли это? (есть подозрение, что - неверно).

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 10:59 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #157488 писал(а):
не слабее некой гипотетической стандартной нормы в C(\mathbb{R}^n)

а про стандартную норму в $C(\mathbb{R}^n)$ можно по-подробнее

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 11:11 
Аватара пользователя
zoo в сообщении #157566 писал(а):
а про стандартную норму в $C(\mathbb{R}^n)$ можно по-подробнее
Я подозреваю, что речь может идти о пространстве всех ограниченных непрерывных функций с Чебышевской нормой.

 
 
 
 
Сообщение12.11.2008, 11:55 
Аватара пользователя
Очевидно при надлежащих уточнениях речь идет о следствии теоремы Стоуна-Вейерштрасса

 
 
 
 
Сообщение13.11.2008, 08:11 
zoo в сообщении #157593 писал(а):
Очевидно при надлежащих уточнениях речь идет о следствии теоремы Стоуна-Вейерштрасса
А что это такое? :oops: Вообще, погуглил - народ проходит ... А мы не проходили :oops:

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group