fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение25.11.2022, 08:01 


27/10/09
602
Дамы и Господа!

Возникла задача выбора эффективной оценки ст. отклонения по двум элементам выборки.
Есть упорядоченная (отсортированная по возрастанию) выборка $X$ объема $n$, из нее берутся два элемента - $k$-ый и $n-k+1$-ый, т.е симметричные. Эти элементы являются квантилями для вероятностей $\alpha = \frac{k-1/2}{n}$ и $\beta=1-\alpha$ соответственно. Тогда, в предположении о нормальности распределения генеральной совокупности, оценка $s$ стандартного отклонения может быть получена как $s=\frac{X_{n-k+1}-X_k}{Q(\beta)-Q(\alpha)}$, где $Q(\beta)$ и $Q(\alpha)}$ - квантили нормализованного нормального распределения для соответствующих вероятностей. Вопрос - каково математическое ожидание и дисперсия этой оценки?
Плотности распределения самих элементов найти не сложно, но они не являются независимыми, тут и возникла сложность.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение25.11.2022, 11:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10006
Москва
А распределение элементов исходной выборки постулируется нормальным? Насколько я понимаю, тут есть точные оценки для равномерного, экспоненциального и некоторых других. А для нормального либо затабулированные значения для конкретных n, либо асимптотические оценки.
См. Дэйвид. Порядковые статистики. или гл. 14 первого тома Кендалла и Стьюарта.
Вообще же это предмет робастного статистического оценивания, а именно L-статистики. У Хьюбера, Робастность в статистике, это гл.5, параграф 3.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение25.11.2022, 11:36 


27/10/09
602
У меня есть плотность распределения $k$-ого элемента упорядоченной выборки, взятой из нормального распределения. Есть даже плотность совместного распределения $k$-ого и $n-k+1$-ого элементов. Например для нормального распределения с центром 1 и стандартом 3 при объеме выборки 20 и $k=5$ плотность будет $$\frac{72747675\text{erfc}\left(-\frac{\text{x1}-1}{2\sqrt{2}}\right)^4\left(\text{erfc}\left(-\frac{\text{x2}-1}{2\sqrt{2}}\right)-2\right)^4e^{\frac{1}{8}\left(-\text{x1}^2+2\text{x1}-\text{x2}^2+2\text{x2}-2\right)}\left(\text{erfc}\left(-\frac{\text{x1}-1}{2\sqrt{2}}\right)-\text{erfc}\left(-\frac{\text{x2}-1}{2\sqrt{2}}\right)\right)^{10}}{131072\pi}$$где $x1\leq x2$ - $k$-ый $n-k+1$-ый элементы выборки. Теперь нужно бы найти математическое ожидание и дисперсию статистики $s=\frac{X_{n-k+1}-X_k}{Q(\beta)-Q(\alpha)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение25.11.2022, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10006
Москва
Может, поможет Шуленин В.П. Математическая статистика. Ч. 2. Непараметрическая статистика ?
П. 4.3В
Там, правда, приближение только для дисперсии, но, видимо, можно аналогично оценить и для ковариации, а затем обычным образом получить дисперсию разности коррелированных величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение25.11.2022, 17:01 


27/10/09
602
Спасибо! Такого учебника пока не видел. Буду изучать.

Один момент - правильно ли я делаю. Есть плотность совместного распределения $p(x,y)$ двух величин $x$ и $y$, причем $x \leq y$ . Правильно ли, что математическое ожидание величины $y-x$ есть $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\text{x}}^{\infty}(y-x)p(x,y)dy dx$, или я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение26.11.2022, 08:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10006
Москва
Мне кажется, всё так...

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение26.11.2022, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10006
Москва
Объём выборки каков? В смысле, можно асимптотикой, или надо для каждого n особо? И второе - цель исследования. В смысле математическое, где нужна строгость, или прикладная задача? В последнем случае можно было бы попробовать статистический эксперимент, точности бы хватило.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение26.11.2022, 18:21 


27/10/09
602
Задача пока теоретическая. Идея для любого объема выборки сформулировать несмещенную эффективную линейную оценку стандартного отклонения, построенную на двух симметричных элементах выборки. Пока получается, что оценка $s=\frac{X_{n-k+1}-X_k}{Q(\beta)-Q(\alpha)}$ смещена.

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение27.11.2022, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10006
Москва
Ну, вообще это L-оценки для параметра масштаба. Точно вопрос не исследован? Хьюбер, Хампель, Эндрюс и прочие ещё не вспахали? Работы по робастному оцениванию посмотрели?

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение28.11.2022, 06:53 


27/10/09
602
Наверняка исследован, но я о нем пока мало чего знаю - буду исправлять

 Профиль  
                  
 
 Re: линейная оценка стандартного отклонения
Сообщение28.11.2022, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
10006
Москва
Ну, чтобы иметь возможность что-либо советовать, я хотел бы больше узнать о Ваших целях.
Если это "плодотворная дебютная идея", то вынужден огорчить, тут уже наработано.
Если исследовательская математическая работа, то надо бы посмотреть уже сделанное, и там искать, куда приложить силы. Скажем, в оптимальное оценивание для конечных выборок, или в процедуры оценивания для таких выборок, не требующие наличия таблиц для разных n.
Если прикладная - то каков объём выборки и какова допустимая погрешность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group