линейная оценка стандартного отклонения

[AndreyL]

Дамы и Господа!

Возникла задача выбора эффективной оценки ст. отклонения по двум элементам выборки.
Есть упорядоченная (отсортированная по возрастанию) выборка $X$ объема $n$, из нее берутся два элемента - $k$-ый и $n-k+1$-ый, т.е симметричные. Эти элементы являются квантилями для вероятностей $\alpha = \frac{k-1/2}{n}$ и $\beta=1-\alpha$ соответственно. Тогда, в предположении о нормальности распределения генеральной совокупности, оценка $s$ стандартного отклонения может быть получена как $s=\frac{X_{n-k+1}-X_k}{Q(\beta)-Q(\alpha)}$, где $Q(\beta)$ и $Q(\alpha)}$ - квантили нормализованного нормального распределения для соответствующих вероятностей. Вопрос - каково математическое ожидание и дисперсия этой оценки?
Плотности распределения самих элементов найти не сложно, но они не являются независимыми, тут и возникла сложность.

[Евгений Машеров]

А распределение элементов исходной выборки постулируется нормальным? Насколько я понимаю, тут есть точные оценки для равномерного, экспоненциального и некоторых других. А для нормального либо затабулированные значения для конкретных n, либо асимптотические оценки.
См. Дэйвид. Порядковые статистики. или гл. 14 первого тома Кендалла и Стьюарта.
Вообще же это предмет робастного статистического оценивания, а именно L-статистики. У Хьюбера, Робастность в статистике, это гл.5, параграф 3.

[AndreyL]

У меня есть плотность распределения $k$-ого элемента упорядоченной выборки, взятой из нормального распределения. Есть даже плотность совместного распределения $k$-ого и $n-k+1$-ого элементов. Например для нормального распределения с центром 1 и стандартом 3 при объеме выборки 20 и $k=5$ плотность будет

$$\frac{72747675\text{erfc}\left(-\frac{\text{x1}-1}{2\sqrt{2}}\right)^4\left(\text{erfc}\left(-\frac{\text{x2}-1}{2\sqrt{2}}\right)-2\right)^4e^{\frac{1}{8}\left(-\text{x1}^2+2\text{x1}-\text{x2}^2+2\text{x2}-2\right)}\left(\text{erfc}\left(-\frac{\text{x1}-1}{2\sqrt{2}}\right)-\text{erfc}\left(-\frac{\text{x2}-1}{2\sqrt{2}}\right)\right)^{10}}{131072\pi}$$

где $x1\leq x2$ - $k$-ый $n-k+1$-ый элементы выборки. Теперь нужно бы найти математическое ожидание и дисперсию статистики $s=\frac{X_{n-k+1}-X_k}{Q(\beta)-Q(\alpha)}$

[Евгений Машеров]

Может, поможет Шуленин В.П. Математическая статистика. Ч. 2. Непараметрическая статистика ?
П. 4.3В
Там, правда, приближение только для дисперсии, но, видимо, можно аналогично оценить и для ковариации, а затем обычным образом получить дисперсию разности коррелированных величин.

[AndreyL]

Спасибо! Такого учебника пока не видел. Буду изучать.

Один момент - правильно ли я делаю. Есть плотность совместного распределения $p(x,y)$ двух величин $x$ и $y$, причем $x \leq y$ . Правильно ли, что математическое ожидание величины $y-x$ есть $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\text{x}}^{\infty}(y-x)p(x,y)dy dx$, или я ошибся?

[Евгений Машеров]

Мне кажется, всё так...

[Евгений Машеров]

Объём выборки каков? В смысле, можно асимптотикой, или надо для каждого n особо? И второе - цель исследования. В смысле математическое, где нужна строгость, или прикладная задача? В последнем случае можно было бы попробовать статистический эксперимент, точности бы хватило.

[AndreyL]

Задача пока теоретическая. Идея для любого объема выборки сформулировать несмещенную эффективную линейную оценку стандартного отклонения, построенную на двух симметричных элементах выборки. Пока получается, что оценка $s=\frac{X_{n-k+1}-X_k}{Q(\beta)-Q(\alpha)}$ смещена.

[Евгений Машеров]

Ну, вообще это L-оценки для параметра масштаба. Точно вопрос не исследован? Хьюбер, Хампель, Эндрюс и прочие ещё не вспахали? Работы по робастному оцениванию посмотрели?

[AndreyL]

Наверняка исследован, но я о нем пока мало чего знаю - буду исправлять

[Евгений Машеров]

Ну, чтобы иметь возможность что-либо советовать, я хотел бы больше узнать о Ваших целях.
Если это "плодотворная дебютная идея", то вынужден огорчить, тут уже наработано.
Если исследовательская математическая работа, то надо бы посмотреть уже сделанное, и там искать, куда приложить силы. Скажем, в оптимальное оценивание для конечных выборок, или в процедуры оценивания для таких выборок, не требующие наличия таблиц для разных n.
Если прикладная - то каков объём выборки и какова допустимая погрешность.