Описание ядра отображения в учебнике Беклемишева

[Ye_Oz]

В учебнике Беклемишева "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" (глава VI, параграф 4, пункт 1) имеется следующее утверждение:

Цитата:

Пусть ядро $\boldsymbol{A}$ ненулевое: $\textrm{dim}\operatorname{Ker}\boldsymbol{A} \geqslant1$. Тогда каждый вектор $y$ из $\boldsymbol{A}(\mathcal{L})$ имеет бесконечно много прообразов. Действительно, если $y = \boldsymbol{A}(x)$ и $ \mathit{0} \ne x_0 \in \operatorname{Ker}\boldsymbol{A}$, то $ \boldsymbol{A}(x + x_0) = y $.

Для меня это утверждение выглядит истинным только в случае, если ядро $\boldsymbol{A}$ - бесконечное в линейном пространстве $\mathcal{L}$, т.е. если $\textrm{dim}\operatorname{Ker}\boldsymbol{A} = \infty$. В случае же конечного ядра каждый вектор $y$ из $\boldsymbol{A}(\mathcal{L})$ будет иметь конечное число прообразов; например, если $\textrm{dim}\operatorname{Ker}\boldsymbol{A} = 2\, (\mathit{0} \ne x_0, x_1 \in \operatorname{Ker}\boldsymbol{A})$, то $\boldsymbol{A}(x) = y$, и $ \boldsymbol{A}(x + x_0) = y$, и $ \boldsymbol{A}(x + x_1) = y$, и $ \boldsymbol{A}(x + x_0 + x_1) = y$, и другие комбинации векторов из ядра, но число этих комбинаций всегда будет конечным для конечного ядра.

Глоссарий: ядром отображения $\operatorname{Ker}\boldsymbol{A}$ называется мн-во векторов, отображающихся в нулевой вектор при отображении $\boldsymbol{A}$.

Где ошибка в моих рассуждениях? Буду признателен за любые комментарии/советы/подсказки.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[svv]

Ye_Oz в сообщении #1567266 писал(а):

Для меня это утверждение выглядит истинным только в случае, если ядро $\boldsymbol{A}$ - бесконечное в линейном пространстве $\mathcal{L}$, т.е. если $\textrm{dim}\operatorname{Ker}\boldsymbol{A} = \infty$.

Мне кажется, Вы смешиваете две вещи: конечность/бесконечность ядра как множества и конечномерность/бесконечномерность ядра как векторного пространства. В Вашем примере ядро $\boldsymbol{A}$ имеет размерность $2$, но если $\mathcal{L}$ — векторное пространство над полем вещественных чисел, ядро будет бесконечным множеством векторов вида $\lambda_0 x_0+\lambda_1 x_1$, где $\lambda_0,\lambda_1$ — произвольные вещественные числа. И, соответственно,
$\forall \lambda_0,\lambda_1\in\mathbb R,\quad \boldsymbol{A}(x + \lambda_0 x_0+\lambda_1 x_1) = y$
Иначе говоря, любой вектор вида $x + \lambda_0 x_0+\lambda_1 x_1$ будет прообразом $y$.

[Ye_Oz]

svv
Выглядит так, что Вы правы, и я действительно смешал эти два понятия. Спасибо за помощь - помогли "расциклиться", несколько дней в голове крутилось.

[svv]

Рад был помочь. Смотрите, вот наше пространство всего лишь трёхмерно, а сколько в нём точек!

[EminentVictorians]

Можно еще так. Есть два вещественных пространства $A$ и $B$ и линейный оператор $f: A \to B$ между ними. Ядро $\operatorname{Ker} f$ этого оператора - это подпространство в $A$. Образ $\operatorname{Im} f$ изоморфен факторпространству $A/ \operatorname{Ker} f$ по ядру. Все классы эквивалентности в $A/ \operatorname{Ker} f$ равномощны. Смотрим на ядро. Раз оно является одномерным вещественным векторным пространством, значит оно изоморфно $\mathbb R$, а значит бесконечно. Берем произвольный вектор из образа. Его прообраз - класс эквивалентности из $A/ \operatorname{Ker} f$. А значит, множество прообразов этого вектора не просто бесконечно, а даже континуально.

[Ye_Oz]

EminentVictorians
Спасибо за альтернативное пояснение, но для того, чтобы его полностью осознать, мне необходимо основательно доработать общую алгебру и функ. анализ.

-- 22.10.2022, 10:01 --

svv
EminentVictorians

(Оффтоп)

Возможно совсем глупый вопрос в глазах образованных математиков, но: в чем разница между линейной функцией и линейным отображением? Опять же в Беклемишеве:
1)

Цитата:

Пример 3. Пусть в $n$-мерном пространстве $L$ выбран базис $\boldsymbol{e}$. Сопоставим каждому вектору $x$ его $i$-компоненту в базисе $\boldsymbol{e}$. Очевидно, что это соответствие - линейная функция на $L$. Мы обозначим ее $\boldsymbol{e}^{*\mathit{i}}$. Так может быть построено $n$ функций $\boldsymbol{e}^{*1}, \dots, \boldsymbol{e}^{*\mathit{n}}$. Конечно, они зависят от того, какой базис в $L$ выбран.

2)

Цитата:

Пусть $L$ - вещественное пространство. Сопоставляя каждому вектору его первую комопненту в выбранном базисе, мы получаем линейное отображение $L$ в линейное пространство вещественных чисел.

По-моему, 2) ничем не отличается от 1) при $i = 1$ (т.е. в случае функции $\boldsymbol{e}^{*1}$).

[EminentVictorians]

Ye_Oz в сообщении #1567322 писал(а):

в чем разница между линейной функцией и линейным отображением?

Да, здесь есть небольшая терминологическая тонкость. Вообще, функция и отображение - это одно и то же. Разве что у понятия "отображение" может быть есть заявка на большую абстрактность. Но это не что-то строгое, а так, коннотация. С такой точки зрения линейная функция и линейное отображение - это одно и то же. Линейное отображение по определению действует из одного векторного пространства в другое. В этой связи получается, что, например, функция $y = 3x + 4$ линейной не является. Любая линейная функция переводит ноль одного пространства в ноль другого, а эта, будучи функцией из $\mathbb R$ в $\mathbb R$ ноль в ноль не переводит. Но в школе такие функции называют линейными. Еще есть традиция называть линейным преобразованием ($=$ линейным оператором) линейное отображение вида $V \to V$ (т.е. в себя).

Ye_Oz в сообщении #1567322 писал(а):

По-моему, 2) ничем не отличается от 1) при $i = 1$ (т.е. в случае функции $\boldsymbol{e}^{*1}$).

Я тоже так думаю.

[Ye_Oz]

EminentVictorians
Изучив более подробно литературу и порешав некоторые упражнения, пришёл к выводу, что принципиальная разница между функцией и отображением в том, что функция каждому вектору всегда сопоставляет только число (комплексное для комплексного пространства и вещественное для вещественного), т.е. мы получаем линейное отображение пространства с элементами любой природы в линейное пространство вещественных (или комплексных) чисел, в то время как линейное отображение (в общем смысле) может вернуть как число, так и любой другой объект (вектор в общем понимании). Т.е. для себя я уяснил так, что линейную функцию можно рассматривать как своего рода "частный случай" линейного отображения. Это же потверждается, когда мы начинаем рассматривать билинейные функции (например, скалярное произведение векторов, которое всегда возвращает только число, но не любой другой вектор). Прошу прощения, если излишне детализирую, но по-другому мой мозг до глубокого понимания не приходит.

[EminentVictorians]

Ye_Oz, я тоже видел у Винберга, что он вроде бы называет линейной функцией те линейные отображения, которые действуют в поле скаляров. Даже если и так, что это разделение дает-то? Я бы на Вашем месте сильно не парился по этому поводу. Никакого глубокого теоретического подтекста тут нету. Максимум - вопрос терминологии и ее удобства.

[мат-ламер]

Ye_Oz в сообщении #1571314 писал(а):

Изучив более подробно литературу и порешав некоторые упражнения, пришёл к выводу, что принципиальная разница между функцией и отображением в том, что функция каждому вектору всегда сопоставляет только число

Когда я учился, такую функцию у нас называли функционалом.