LTE lemma No.1

[rsoldo]

Let $a$ and $b$ be different integers and $k>1$ a natural number. Prove that

$$\left(a+\frac{1}{k}\right)^n-\left(b+\frac{1}{k}\right)^n$$

is integer only for finitely many natural numbers $n$.

[Shadow]

Такая толстая подсказка в заголовке...спасибо. Допустим, что условие выполняется для бесконечно много $n$

Обозначим $x=ak+1,y=bk+1$ Тут $x,y$ взаимнопростые с $k$. Еще $k \mid x-y$. А значит, все условия для LTE выполнены. Ну и пусть для некоторого простого делителя k

$v_p(x-y)=t$. Тогда для бесконечно много $n$ должно выполнятся $v_p(n)+t \ge n$

Что, конечно, невозможно хотя бы потому, что $v_p(n) \le \dfrac n 2$