Интеграл Ханкеля (необычный метод)

[robot80]

Здравствуйте!
Читая статьи (импортные и наши - 60-е - 80-е гг 20 века) по теоретическим вопросам вертикального электрозондирования (VES), встретил нестандартный способ приближённого вычисления интеграла Ханкеля. Я попробовал проделать те операции, что были указаны в статьях, но у меня не получилось получить те результаты, что приведены в этих самых статьях. Может быть, уважаемые форумчане посмотрят на краткое его изложение и укажут место, где что-то не до конца правильно делаю.
Постановка задачи: требуется вычислить интеграл (преобразование) Ханкеля

$$ s^2 \cdot \int_{0}^{+\infty} F(m, h)\cdot J(1,m\cdot s) \cdot m dm$$

, где F - некая функция, асимптотически эквивалентная

$$ \exp(-m)$$

; J(1,m \cdot s) - функция Бесселя 1-го рода; h > 0 - параметр среды; s > 0 - параметр электроустановки.
Метод решения: Шаг 1. Делают замену:

$$ s = \exp(x); m = \exp(-y); dm = -\exp(-y)dy$$

. Тогда исходный интеграл приобретает вид:

$$ -\int_{-\infty}^{+\infty} F(\exp(-y), h)\cdot J(1, \exp(x-y)) \cdot \exp(2 \cdot (x-y)) dy$$

.
Шаг 2. Так как это интеграл типа свёртки, то меняют местами аргументы:

$$ -\int_{-\infty}^{+\infty} F(\exp(-(x-y)), h)\cdot J(1, \exp(y)) \cdot \exp(2 \cdot y) dy$$

Шаг 3. Задают на оси Oy сетку, причём необязательно симметричную относительно нуля. Переходят от интеграла к сумме:

$$ -\sum _{1}^{N} F(\exp(-(x-y_{i})),h) \cdot \int _{y_{i}}^{y_{i+1}} J(1, \exp(y)) \cdot \exp(2 \cdot y) dy = -\sum _{1}^{N} F(\exp(-(x-y_{i})),h) \cdot C_{i}$$

Появляется ПОДЗАДАЧА: найти коэффициенты

$$C_{i}$$

Шаг 4. Берут ИЗВЕСТНЫЙ табличный интеграл

$$ s^2 \cdot \int_{0}^{+\infty} m \cdot \exp(-m) \cdot J(1,m\dot s) \cdot m dm = 3 \cdot \frac {s^3 } {(1 + s^2)^{2,5}}$$

. Проделывают с ним все те же манипуляции, что и выше. В результате получают задачу на метод наименьших квадратов: найти неизвестные коэффициенты

$$C_{i}$$

при условии, что известен результат вычисления интеграла при каких-то значениях параметра

$$s$$

(фактически - это система уравнений).
Шаг 5. Делают вывод о том, что так как исходная функция

$$F(m, h)$$

не зависит от параметра

$$ s$$

, то найденные коэффициенты для вспомогательной функции

$$ m \cdot \exp(-m) $$

будут такие же, что и для неё.

Что смущает: исходный интеграл был сходящимся, а тот, что получается после манипуляций - расходящийся;
в указанных статьях получаются различные наборы коэффициентов, но обязательно

$$\sum C_{i} = 1$$

;
Я решаю систему уравнений методом Гаусса, получаю коэффициенты от примерно нуля до

$$10^9$$

; так как интеграл расходится, то неудивительно, что интеграл будет всё больше и больше.
В общем, ЗАГАДКА. Какой-то шайтан-метод. Но он рабочий, так как заложен во многие программные комплексы, посвящённые электроразведке.
Любопытно, что параллельно указанным статьям идут статьи на традиционное аппроксимирование функции

$$F(m, h)$$

с последующим применением табличных интегралов.

[mihiv]

Запишем исходный интеграл в виде:

$$\int \limits _0^{\infty }F(\frac us,h)\cdot J(1,u)udu\qquad \eqnop (1)$$

Тогда,казалось бы, можно применить описываемый метод непосредственно к $(1)$.
По крайней мере, со сходимостью при этом все нормально.

[robot80]

mihiv, спасибо за ответ и совет! Попробую что-нибудь поделать с предложенным вами интегралом.

[robot80]

Боюсь, что и предложенный интеграл не позволяет применить указанный метод (вроде).
Если действовать сразу с шага 3 (первые два шага не нужны, так как два последних сомножителя и так зависят только от переменной интегрирования).
$ \int_{0}^{\infty} F(u/s) \cdot J_{1}(u) u du = \sum_{1}^{N} F(u_{i}/s_{j}) \int_{u_i}^{u_{i+1}} J_{1}(u) \cdot u du $
Так вот интеграл в правой части тоже расходится. Не так, конечно, катастрофично, как изначальный, но всё же коэффициенты $C_{i}$ будут расти.
Это если я правильно понял данный совет.

[mihiv]

robot80
Действительно, $J_1(x)\sim \frac {1}{\sqrt x}$ для больших $x$, поэтому можно попробовать, например, такую сумму:

$$\sum \limits _1^{N}F(\frac {u_i}s,h)\exp (\sqrt {u_i})\int \limits _{u_i}^{u_{i+1}}\exp (-\sqrt {u})J_1(u)udu$$

[robot80]

mihiv
Спасибо, попробую! Выглядит обнадёживающе: значения подынтегральной функции стремятся к нулю, размах функции по величине совпадает с известными коэффициентами из этих статей.

[robot80]

mihiv, появились результаты. Поиск неизвестных коэффициентов $C_i$ производится методом наименьших квадратов, где переменными выступают коэффициенты $C_i$, а невязка строится для конкретных параметров $s$. Попытка перейти к системе уравнений относительно $C_i$ для частных производных ничего не даёт, так как у матрицы её коэффициентов оказывается нулевой определитель. Это происходит потому, что интеграл по переменной $u$ идёт от нуля и первые столбец и строка будут равны нулю из-за структуры полинтегральной функции. То есть найти коэффициенты без ограничений невозможно.
Поэтому перешёл к поиску коэффициентов с дополнительными ограничениями $\sum C_{i} = 1 $. Применил метод множителей Лагранжа. Результат получился просто замечательный: сумма коэффициентом равна единице, величина невязки уменьшается с ростом количества точек разбиения по переменной $u$.
$******************************$
Теперь осталось проверить две вещи:
1) как точно указанные коэффициенты подгоняют не вспомогательную функцию, а реальную функцию (в одном частном случае интеграл Ханкеля от неё считается через ряды).
2) попробую применить подход с множителями Лагранжа к первоначальному интегралу. Может быть, что-то получится.

[mihiv]

robot80 в сообщении #1570994 писал(а):

То есть найти коэффициенты без ограничений невозможно.

robot80,
можно было немного отступить от $s=0$.

[robot80]

Решил немного пошевелить эту задачу и посмотреть откуда в ней ноги растут.
Во-первых, сам подход с интегрированием сомножителя (шаг 3). Насколько понял, это модификация метода прямоугольника
$\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx = h \sum f(u_k) \cdot g(u_k) = \sum f(u_k) \cdot \int_a^b g(x) dx =\sum f(u_k) \cdot C_k $
Вот вопрос: насколько он точный и устойчивый, насколько сильно зависит от коэффициентов функции $f(x)$ и так далее...
Во-вторых, я попробовал в прямую сосчитать указанные выше коэффициенты $C_k $ для двух замен: исходной и предложенной mihiv. Коэффициенты считаются хорошо, но общий результат интегрирования сильно зависит от параметра $h$, так как исходная левая функция зависела от него как $ e^{-mh}$ и для малых $h$ погрешность с точным решением составляет от 10 до 60. Кроме этого, при интегрировании я умножал на возрастающую функцию и она плохо аппроксимируется прямоугольниками. При этом коэффициенты для исходной логарифмической замены в принципе совпадают с коэффициентами из статей (закон распределения у них такой же), однако общая их сумма не равна единице.
В-третьих, я попробовал искать коэффициенты $C_k $ не как результат применения интегрирования, а как некие коэффициенты разложения функции результата интегрирования $I(s,h)$ по значениям функции $F(m,h)$: с дополнительным условием $\sum C_k =1 $ (с помощью МНК относительно параметра s и метода Лагранжа), но при этом я не домножал $F(m,h)$ на $\exp(\sqrt{u})$. Как ни странно, коэффициенты нашлись, и даже вся сумма гораздо лучше совпадает с требуемым результатом, чем при непосредственном интегрировании (зависимости от h практически отсутствует, так что думаю и выше дело было не в нем.) Проделал такую операцию для обеих замен. Что интересно, и там и там коэффициенты отличаются от тех, что приводятся в статьях.
В общим занятно...