То есть для наперед заданного
![$K\ge3$ $K\ge3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e62e975447f2e470f864e1f7fdc3cf182.png)
мы можем для каждого
![$k: 2\le{k}<K$ $k: 2\le{k}<K$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/226ad6edda7165392e048ecd9a169dd682.png)
выбрать числа
![$b_2, ..., b_K$ $b_2, ..., b_K$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/9/b9973e5530a66fdfa341bc936e8e1d2c82.png)
, чтобы получить соответствующие равенства. Дело в том, что всегда
![$\ast$ $\ast$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/457fa9db3eb0739310d5ed0f01f8d65d82.png)
существует простое
![$p\le{K}$ $p\le{K}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/7/6d738b1a5d7119bfab9ff5e58798c5d082.png)
такое, что
![${K!}\over{p}$ ${K!}\over{p}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/d/7ed7f558e8eb16646cad5b565713ace082.png)
взаимно просто с
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
.
...
![$\ast$ $\ast$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/7/457fa9db3eb0739310d5ed0f01f8d65d82.png)
утверждение не очевидное, но оно следует из того, что между
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
и
![$2n$ $2n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/c/47c124971e1327d1d3882a141f95face82.png)
всегда найдется простое. Если
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
- простое, просто берем
![$p=K$ $p=K$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/d/cfd07753668d2ff24b48d4864a4c0a3b82.png)
.
Иначе: если
![$K=2N$ $K=2N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/0/6d0be0e4301bf2bddb31d7c115f99bb282.png)
, берем простое
![$N<p<2N=K$ $N<p<2N=K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/a/5ca9e946d5654d77b1167b55a7efd48f82.png)
. Если
![$K=2N+1$ $K=2N+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/3/3438d35de2b4fe896af3e0d518b8bc2282.png)
, берем простое
![$N+1<p<2N+2=K+1$ $N+1<p<2N+2=K+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/a/b5a702dcca3b4f6560ebd8cbdc0a2df482.png)
(но
![$2N+1$ $2N+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/c/c5c1ab3f09b11d18b76801211cb4086c82.png)
заведомо составное, поэтому
![$p<K$ $p<K$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/0/7f0227add04c8396cf40a3f84b630e4d82.png)
). Видно, что
![$2p>K$ $2p>K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/3/1a347091ea44122e1202ca08c7869eb982.png)
, поэтому в разложении
![$K!$ $K!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/9/d09a4d8233ada8337a8b8b9b33df308882.png)
множитель
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
встретится только один раз.
. На мой взгляд условие с частным случаем было достаточно сложным для школьников. Насколько я знаю для каждой задачи не более часа было отведено.