2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Школьная олимпиадная задача из Австралии
Сообщение22.11.2022, 17:44 


02/04/18
237
Больше того... Если ничего не напутал, то уравнение
$$b_2^2\pm b_3^3\pm... \pm b_K^K=0$$
имеет натуральные решения при любом $K\ge3$ и любой, наперед заданной, расстановке плюсов и минусов.

Тогда условие исходной задачи - частный случай этой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная олимпиадная задача из Австралии
Сообщение22.11.2022, 19:33 


14/06/22
60
Dendr в сообщении #1570925 писал(а):

То есть для наперед заданного $K\ge3$ мы можем для каждого $k: 2\le{k}<K$ выбрать числа $b_2, ..., b_K$, чтобы получить соответствующие равенства. Дело в том, что всегда$\ast$ существует простое $p\le{K}$ такое, что ${K!}\over{p}$ взаимно просто с $p$.
...
$\ast$ утверждение не очевидное, но оно следует из того, что между $n$ и $2n$ всегда найдется простое. Если $K$ - простое, просто берем $p=K$.
Иначе: если $K=2N$, берем простое $N<p<2N=K$. Если $K=2N+1$, берем простое $N+1<p<2N+2=K+1$ (но $2N+1$ заведомо составное, поэтому $p<K$). Видно, что $2p>K$, поэтому в разложении $K!$ множитель $p$ встретится только один раз.



Dendr

Спасибо за решение при любом $K \geq 3$ и $k: 2\le{k}<K$. На мой взгляд условие с частным случаем было достаточно сложным для школьников. Насколько я знаю для каждой задачи не более часа было отведено.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group