Изоморфизм между абелевыми алгебрами Ли

[DLL]

Допустим у нас есть алгебра Ли в пространстве $(x,y,z) \in R^3$.
Возьмем две абелевы алгебры Ли одинаковой размерности. Например, одна состоит из операторов

$$ t \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}, t \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial y} $$

и

$$ \frac{\partial}{\partial x}, t \frac{\partial}{\partial x}, t^2 \frac{\partial}{\partial x}, t^3 \frac{\partial}{\partial x} $$

Обе четырехмерные, но как бы разные. Есть ли у них какая-то известная инвариантная характеристика?

[Padawan]

Если алгебры Ли абелевы (это, как я понимаю, значит, что $[X, Y]=0$ для любых векторов $X,Y$), то любой линейный изморфизм между ними автоматически сохраняет коммутатор (что там сохранять?), то есть является изморфизмом алгебр Ли. Или я не понял вопрос?

[VanD]

По-смыслу у Вас тут, видимо, два представления четырёхмерной коммутативной алгебры Ли в векторных полях на $\mathbb{R}^4$ с координатами $(t, x, y, z)$. Ну или я не так понял.

Если Вы имеете в виду, существует ли диффеоморфизм $\mathbb{R}^4$ в себя, переводящий линейную оболочку одних полей (над $\mathbb{R}$) в другую, то ответ -- нет. Размерность распределения, натянутого на первую систему векторных полей, в каждой точке равна $2$. Для второй системы размерность равна $1$.

[DLL]

Именно так! Я абсолютно бестолково написал вопрос
Спасибо за корректировку.