2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Школьная олимпиадная задача из Австралии
Сообщение22.11.2022, 17:44 


02/04/18
246
Больше того... Если ничего не напутал, то уравнение
$$b_2^2\pm b_3^3\pm... \pm b_K^K=0$$
имеет натуральные решения при любом $K\ge3$ и любой, наперед заданной, расстановке плюсов и минусов.

Тогда условие исходной задачи - частный случай этой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная олимпиадная задача из Австралии
Сообщение22.11.2022, 19:33 


14/06/22
83
Dendr в сообщении #1570925 писал(а):

То есть для наперед заданного $K\ge3$ мы можем для каждого $k: 2\le{k}<K$ выбрать числа $b_2, ..., b_K$, чтобы получить соответствующие равенства. Дело в том, что всегда$\ast$ существует простое $p\le{K}$ такое, что ${K!}\over{p}$ взаимно просто с $p$.
...
$\ast$ утверждение не очевидное, но оно следует из того, что между $n$ и $2n$ всегда найдется простое. Если $K$ - простое, просто берем $p=K$.
Иначе: если $K=2N$, берем простое $N<p<2N=K$. Если $K=2N+1$, берем простое $N+1<p<2N+2=K+1$ (но $2N+1$ заведомо составное, поэтому $p<K$). Видно, что $2p>K$, поэтому в разложении $K!$ множитель $p$ встретится только один раз.



Dendr

Спасибо за решение при любом $K \geq 3$ и $k: 2\le{k}<K$. На мой взгляд условие с частным случаем было достаточно сложным для школьников. Насколько я знаю для каждой задачи не более часа было отведено.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group