Связь неопределенного и определенного интегралов

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите понять. Известно, что неопределенный и определенный интегралы - разные понятия. А как можно разглядеть связь между пределом последовательности интегральных сумм и разностью первообразных интегрируемой функции? Вывод формулы Ньютона-Лейбница знаю, но там используется уже выявленная ранее связь между площадью и первообразной. Я имею в виду, что $S(x)=\int\limits_{a}^{x} f(t)dt$ - это площадь криволинейной трапеции с переменной правой границей. А откуда стало известно, что $S(x)$ - это первообразная $f(t)$? Или где можно про это почитать?

[mihaild]

Stensen в сообщении #1570670 писал(а):

Вывод формулы Ньютона-Лейбница знаю, но там используется уже выявленная ранее связь между площадью и первообразной.

Видимо, зависит от изложения. У Рудина в этом месте ничего про площадь нет.

Увидеть, что $S(x) = S(x_0) + f(x_0) \cdot (x - x_0) + o(x - x_0)$ - на самом деле, довольно просто. Пишем $f(x) = f(x_0) + o(x - x_0)$, и пользуемся линейностью и ограниченностью (т.е. что интеграл от маленькой величины мал) интеграла.

[EminentVictorians]

Stensen в сообщении #1570670 писал(а):

Известно, что неопределенный и определенный интегралы - разные понятия.

Лично мой взгляд - неопределенный интеграл (определенный как множество первообразных) является каким-то бесполезным объектом. Понятие первообразной - полезно. Теорема о том, что множество первообразных на связном промежутке - это однопараметрическое семейство функций с понятно каким свойством - полезная. Но сам неопределенный интеграл имхо бесполезен.

Кстати поэтому мне не нравится, что у Зорича неопределенный интеграл идет до определенного. Зачем доказывать все эти теоремы о линейности, замене переменной и т.д. для неопределенного интеграла, если можно доказать это все 1 раз для определенного, а потом вместо неопределенного интеграла использовать интеграл с переменным верхним пределом (к этому моменту уже будет доказано, что интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных данной функции).

А теорема Ньютона-Лейбница скучная. Доказывается буквально устно, если известна теорема Барроу. Да и невооруженным взглядом видно, что терема Барроу гораздо фундаментальнее формулы Ньютона-Лейбница.

[Stensen]

Спасибо, пока понятно

[Flood]

Возможно, такие наводящие соображения будут интересны:


Пантаев Михаил Юрьевич. Матанализ с человеческим лицом.

[Stensen]

Flood в сообщении #1570700 писал(а):

Возможно, такие наводящие соображения будут интересны:
Пантаев Михаил Юрьевич. Матанализ с человеческим лицом.

Спасибо

[ewert]

EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):

неопределенный интеграл (определенный как множество первообразных) является каким-то бесполезным объектом. Понятие первообразной - полезно. Теорема о том, что множество первообразных на связном промежутке - это однопараметрическое семейство функций с понятно каким свойством - полезная. Но сам неопределенный интеграл имхо бесполезен.

Вы уж как-нибудь определитесь: полезен этот объект потому, что бесполезен или, наоборот, бесполезен потому, что полезен. Между прочим, множество и семейство -- это синонимы.

EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):

Кстати поэтому мне не нравится, что у Зорича неопределенный интеграл идет до определенного.

Зорич тут абсолютно не при чём, у всех идёт ровно так. По очевидной причине -- это совершенно разные тематики. В связи с неопределённым интегралом интересуются исключительно техникой интегрирования, в определённом же наоборот -- техника неинтересна, а интересны общие свойства и приложения. Собственно, Вы предлагаете примерно следующее: сначала введём определённый интеграл, площадь и всё такое, а потом докажем, что площадь подграфика для синуса в четвёртой вычисляется понижением степени. Правда, и путь для аналогичной скорости вычисляется тоже понижением степени... Ну ничего, мы и это докажем! Флаг в руки.

EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):

А теорема Ньютона-Лейбница скучная. Доказывается буквально устно, если известна теорема Барроу.

Это две совершенно разные теоремы, с очень разными условиями выполнимости.

Теорема 1 (Ньютон, Лейбниц).
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на $[a;b]$ и её производная $f'(x)$ интегрируема на $[a;b]$. Тогда $\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$.

Теорема 2 (Барроу).
Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a;b]$. Тогда интеграл с переменным верхним пределом $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ непрерывен на $[a;b]$ и, кроме того, если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0\in(a;b)$, то $F'(x_0)=f(x_0)$.

И доказываются они тоже совершенно- по разному. Теорема Ньютона-Лейбница доказывается действительно по щелчку, но вовсе не из-за Барроу, а из-за теоремы Лагранжа о конечных приращениях (благодаря ней всегда можно выбирать такие интегральные суммы, которые попросту равны полному приращению функции). Теорема же Барроу доказывается тупо через приращения и пределы отношения приращений.

(То, что названия теорем условны и любую из них можно было бы обозвать любой из этих фамилий, к делу отношения не имеет.)

[EminentVictorians]

ewert в сообщении #1570705 писал(а):

Вы уж как-нибудь определитесь: полезен этот объект потому, что бесполезен или, наоборот, бесполезен потому, что полезен.

Я в своем посте вполне точно написал: бесполезен неопределенный интеграл. Понятие первообразной и теорему о множестве первообразных на связном промежутке считаю полезной.

ewert в сообщении #1570705 писал(а):

Зорич тут абсолютно не при чём, у всех идёт ровно так. По очевидной причине -- это совершенно разные тематики.

По мне странно изучать неопределенный интеграл до определенного, поскольку первый полностью сводится ко второму. Зачем доказывать отдельно теоремы о неопределенном интеграле, если их можно легко вывести из соответствующих теорем об определенном?
План такой:
1)Вводим определенный интеграл и доказываем его основные свойства
2)Доказываем теорему Барроу и Ньютона-Лейбница
3)Во всех задачах, где требуется найти неопределенный интеграл, заменяем значок неопределенного интеграла на интеграл с переменным верхним пределом (а в конце добавляем "+с" если больно уж так надо - я, например, никогда не добавляю).

ewert в сообщении #1570705 писал(а):

Теорема Ньютона-Лейбница доказывается действительно по щелчку, но вовсе не из-за Барроу, а из-за теоремы Лагранжа о конечных приращениях (благодаря ней всегда можно выбирать такие интегральные суммы, которые попросту равны полному приращению функции).

Я из Барроу доказывал. Берем непрерывную функцию $f$. Для нее корректно определен интеграл с переменным верхним пределом $F(x)=\int_a^xf$. Имеем: $\int_a^bf = F(b) = F(b) - 0 = F(b) - F(a)$. Величина $F(b) - F(a)$ не зависит от выбора конкретной первообразной $F$, т.к. они все отличаются на константу. Вот и все, теорема Ньютона-Лейбница доказана. Теорема Лагранжа нигде не использовалась.

[mihaild]

ewert в сообщении #1570705 писал(а):

Зорич тут абсолютно не при чём, у всех идёт ровно так.

У Рудина неопределенного интеграла вообще нет.

EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):

а в конце добавляем "+с" если больно уж так надо - я, например, никогда не добавляю

А вот это зря, потому что в диффурах это $+C$ может внезапно стать $\cdot C$ или даже $\cdot^C$.

EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):

Зачем доказывать отдельно теоремы о неопределенном интеграле, если их можно легко вывести из соответствующих теорем об определенном?

ИМХО матанализ тут слегка залезает на территорию алгебры. Чтобы заниматься символьным интегрированием никакая топология не нужна.

EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):

Я из Барроу доказывал

У вас получилась теорема слабее, чем у ewert - вам нужна непрерывность производной, а ewert достаточно дифференцируемости.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1570719 писал(а):

А вот это зря, потому что в диффурах это $+C$ может внезапно стать $\cdot C$ или даже $\cdot^C$.

Да я о более приземленных вещах. Имеется в виду, что если уж прям так сильно требуют найти именно множество первообразных, а не просто какую-то первообразную, то можно это "плюс цэ" и написать. Если понимать, что делаешь - то это все мелочи.

mihaild в сообщении #1570719 писал(а):

ИМХО матанализ тут слегка залезает на территорию алгебры.

Мне тоже так приятно думать. Интегрирование и дифференцирование - это линейные операторы. Отсюда и получается вся эта история с факторгруппой, первообразными и смежными классами.

mihaild в сообщении #1570719 писал(а):

У вас получилась теорема слабее, чем у ewert - вам нужна непрерывность производной, а ewert достаточно дифференцируемости.

Я это понимаю, но что поделать. Я у себя в голове представляю эту теорию так, что к этому моменту уже есть интегралы Лебега и Курцвейля-Хенстока, с помощью которых можно доказать в формулировке ewert (если даже не в более сильной). Просто матанализ по-дурацки выстроен, приходится по крупицам самому выстраивать теорию так, как надо.

[ewert]

mihaild в сообщении #1570719 писал(а):

У Рудина неопределенного интеграла вообще нет.

Ну так книжка Рудина и непригодна для обучения первокурсников. Непонятно, для кого он её вообще писал. Подбор материала вроде вполне стандартный (в основном), но уж больно сильно в него намешаны элементы функана. Эта книжка если для кого и полезна, то только для тех, кто уже знает матанализ. Скажем, для вузовских преподавателей; но не для студентов (кроме особо продвинутых).

EminentVictorians в сообщении #1570716 писал(а):

Зачем доказывать отдельно теоремы о неопределенном интеграле, если их можно легко вывести из соответствующих теорем об определенном?

Ну-ну. Приведите какую-нибудь теорему про определённые интегралы, из которой выводились бы, скажем, подстановки Эйлера или Чебышёва. Не обязательно даже "легко"; пусть хоть как-нибудь выведутся.

Те же утверждения про неопределённые, которые Вы перед этим упоминали, на роль теорем не тянут. Линейность (что для определённого, что для неопределённого) -- это вообще ни разу не теорема, это просто по определению. Интегрирование по частям и замена переменных -- тоже, в общем, не теоремы, это скорее приёмы. И, между прочим, использовать в качестве базовых эти утверждения для определённого -- явный моветон хотя бы потому, что формулировки более громоздкие.

EminentVictorians в сообщении #1570722 писал(а):

Я у себя в голове представляю эту теорию так, что к этому моменту уже есть интегралы Лебега и Курцвейля-Хенстока, с помощью которых можно доказать в формулировке ewert (если даже не в более сильной).

Скажите, а у Вас никогда не возникал в голове вопрос: зачем Вас в детстве, собственно, заставляли учить таблицу умножения?.. Дали бы сразу какую-нибудь теорию групп: насколько всё сразу понятнее стало бы!

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1570680 писал(а):

Кстати поэтому мне не нравится, что у Зорича неопределенный интеграл идет до определенного.

А чего-то не обнаружил у Зорича чёткого определения неопределённого интеграла. Наверное тут не всё просто. И если ввести строгое определение, то найдётся к чему придраться. Например, как определить неопределённый интеграл для разрывных функций типа $1 \slash x$ ?

ewert в сообщении #1570705 писал(а):

В связи с неопределённым интегралом интересуются исключительно техникой интегрирования, в определённом же наоборот -- техника неинтересна

Ну, это от учебника зависит. В курсе Фихтенгольца, например, много интересных определённых интегралов.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1570764 писал(а):

Например, как определить неопределённый интеграл для разрывных функций типа $1 \slash x$ ?

Сначала фиксируем функцию $f(x)$ и связный промежуток $\Omega$. Первообразная $F(x)$ функции $f(x)$ на $\Omega$ - это функция, определенная на $\Omega$ такая, что $F'(x) = f(x) \forall x \in \Omega$. Далее доказываем, что все первообразные образуют понятно какое множество. А затем вводим понятие неопределенного интеграла как множества первообразных. На счет функции $1/x$. Сначала зафиксируйте связный промежуток. Без этого шага процедура поиска неопределенного интеграла не определена.

ewert в сообщении #1570748 писал(а):

Приведите какую-нибудь теорему про определённые интегралы, из которой выводились бы, скажем, подстановки Эйлера или Чебышёва.

А в чем проблема? Я помню как я изучал всю эту тему про интегрирование рациональных функций. Ничего кроме линейности, замены переменной и интегрирования по частям там не было. А эти факты переносятся с определенного интеграла.

ewert в сообщении #1570748 писал(а):

Скажите, а у Вас никогда не возникал в голове вопрос: зачем Вас в детстве, собственно, заставляли учить таблицу умножения?.. Дали бы сразу какую-нибудь теорию групп: насколько всё сразу понятнее стало бы!

Мне не нравятся такие аналогии. Выглядит как подмена понятий. Есть большая разница между навыками, востребованными для социальной адаптации ребенка и изучением математических теорий. Что касается математических теорий и меня лично, то я потратил большое количество времени и нервов на вещи, которые можно было бы изучить гораздо проще и понятнее. И такое положение дел во многом сложилось по причине того, что культивируются все эти идеи в духе "изучать надо от частного к общему", "чтож вы в детском саду учили таблицу умножения, а не теорию групп" и так далее.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1570764 писал(а):

А чего-то не обнаружил у Зорича чёткого определения неопределённого интеграла.

Да, Зорич формальное определение зажевал. Возможно, не захотел грузить читателя понятиями "множество функций" и затем сложением и умножением на число таких множеств. (Там действительно возникает формальная проблема, но только одна: в равенстве $\int0\cdot f(x)\,dx=0\cdot\int f(x)\,dx$ слева стоит множество всех констант, а справа -- множество, состоящее только из нуля; это вполне можно пережить).

По поводу разрывных функций у Зорича как раз всё совершенно однозначно. Он прямым текстом говорит, что первообразная и неопределённый интеграл имеют смысл только для сплошного промежутка.

мат-ламер в сообщении #1570764 писал(а):

В курсе Фихтенгольца, например, много интересных определённых интегралов.

Да, много. Но уже потом. Кроме того, Фихтенгольц здесь не показателен -- у него удельный вес примеров вообще гораздо выше, чем в других учебниках. (Собственно, только ради них его систематически и переиздают.)

EminentVictorians в сообщении #1570781 писал(а):

Мне не нравятся такие аналогии.

Это не аналогия, а точный аналог. Вы постоянно ставите телегу впереди лошади. Неопределённый интеграл -- существенно более простое понятие, чем определённый и при этом техника интегрирования -- штука весьма нетривиальная. Ссылаться при нахождении первообразных на гораздо более сложное понятие (при том, что эти сложности не имеют ни малейшего отношения к делу) -- абсолютно нелепо. Это не говоря уж о чисто методической стороне дела: теория определённого интеграла, как и любая другая, нуждается в примерах, а это означает, что к этому моменту стандартные приёмы интегрирования должны уже быть отработаны.

[EminentVictorians]

ewert в сообщении #1570853 писал(а):

(Там действительно возникает формальная проблема, но только одна: в равенстве $\int0\cdot f(x)\,dx=0\cdot\int f(x)\,dx$ слева стоит множество всех констант, а справа -- множество, состоящее только из нуля; это вполне можно пережить).

Справа тоже множество всех констант.

Чтобы искусственно не усложнять, будем рассматривать функции вида $\mathbb R \to \mathbb R$. Рассмотрим пространство $D$ дифференцируемых функций и пространство $C$ непрерывных функций. Оператор дифференцирования $d: D \to C$ является линейным. Его ядром является множество $Const$ констант. Тем самым, имеем биективный оператор $s: D/Const \to C$. Обратный к нему - это и есть неопределенный интеграл: $s^{-1} = \int$. Таким образом, для произвольной функции $f \in C$

$$Const = \int 0_C = \int 0 \cdot f = 0 \cdot \int f = [0 \cdot \int f] = [g \equiv 0] = Const$$