2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Больше корня из пяти
Сообщение15.11.2022, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
Доказать, что для любых целых $a \ge b > 0$ одно и только одно из двух выражений
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$
$$\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a}$$
больше корня из пяти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше корня из пяти
Сообщение15.11.2022, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для любых вообще положительных $a,b$ верно
\begin{align*}
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}<\sqrt{5} &\iff \frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{b}{a}<\frac{\sqrt{5}+1}{2},\\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>\sqrt{5} &\iff \frac{b}{a}\in\left(0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},+\infty\right),\\
\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5} &\iff \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}.
\end{align*}
Последний случай исключён из-за иррациональности $\sqrt{5}$. Осталось заметить, что всегда верно ровно одно из двух:
1) $\frac{b}{a}<\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ и $\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1<\frac{a+b}{a}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$;
2) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{b}{a}\leqslant1<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ и $\frac{a+b}{a}>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше корня из пяти
Сообщение16.11.2022, 00:34 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Т.к. $\frac{a}{b}\geq 1$, то
$$\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-\sqrt{5}\right)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a}-\sqrt{5}\right)=
-\frac{(\sqrt{5}-2)\left(\frac{a}{b}-1+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(a-b\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2\left(a+b\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)}{a^2(b+a)}\leq 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше корня из пяти
Сообщение16.11.2022, 17:35 


02/04/18
240
Или так, нагляднее.

Введем $q={b\over a} \in(0; 1)$ - рациональное по условию и функцию $f(x)=x+{1\over x}$

Как видно, первое выражение перепишется как $f(q)$, второе - $f(q+1)$. На единичном интервале первая монотонно убывает, вторая - монотонно возрастает, и значения минимумов у них одинаковы и равны 2.

Точку пересечения найти несложно, ее абсцисса иррациональна, а ордината равна $\sqrt5$.
То есть при рациональном аргументе из единичного интервала одна из функций строго меньше корня из пяти, другая - строго больше. ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше корня из пяти
Сообщение16.11.2022, 18:30 


05/09/16
11461
Dendr в сообщении #1570213 писал(а):
Как видно, первое выражение перепишется как $f(q)$, второе - $f(q+1)$. На единичном интервале первая монотонно убывает, вторая - монотонно возрастает, и значения минимумов у них одинаковы и равны 2.

Супер! Я это увидел просто построив поверхности в геогебре. Но не смог сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше корня из пяти
Сообщение17.11.2022, 21:41 


30/08/22
15
Данное выражение однородное, поэтому
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}  =  \frac{a/a}{b/a}+ \frac{b/a}{a/a} = \frac{1}{\alpha}+\frac{\alpha}{1}$$
$$\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a} =  \frac{a/a}{a/a+b/a}+\frac{a/a+b/a}{a/a} = \frac{1}{1+\alpha}+\frac{1+\alpha}{1}$$
Теперь неравенство можно решить в уме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group