Больше корня из пяти

[Droog_Andrey]

Доказать, что для любых целых $a \ge b > 0$ одно и только одно из двух выражений

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$

$$\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a}$$

больше корня из пяти.

[RIP]

Для любых вообще положительных $a,b$ верно
\begin{align*} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}<\sqrt{5} &\iff \frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{b}{a}<\frac{\sqrt{5}+1}{2},\\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}>\sqrt{5} &\iff \frac{b}{a}\in\left(0,\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},+\infty\right),\\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\sqrt{5} &\iff \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}\pm1}{2}. \end{align*}
Последний случай исключён из-за иррациональности $\sqrt{5}$. Осталось заметить, что всегда верно ровно одно из двух:
1) $\frac{b}{a}<\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ и $\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1<\frac{a+b}{a}<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$;
2) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}<\frac{b}{a}\leqslant1<\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ и $\frac{a+b}{a}>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

[Rak so dna]

Т.к. $\frac{a}{b}\geq 1$, то

$$\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}-\sqrt{5}\right)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a}-\sqrt{5}\right)= -\frac{(\sqrt{5}-2)\left(\frac{a}{b}-1+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(a-b\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2\left(a+b\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)}{a^2(b+a)}\leq 0$$

[Dendr]

Или так, нагляднее.

Введем $q={b\over a} \in(0; 1)$ - рациональное по условию и функцию $f(x)=x+{1\over x}$

Как видно, первое выражение перепишется как $f(q)$, второе - $f(q+1)$. На единичном интервале первая монотонно убывает, вторая - монотонно возрастает, и значения минимумов у них одинаковы и равны 2.

Точку пересечения найти несложно, ее абсцисса иррациональна, а ордината равна $\sqrt5$.
То есть при рациональном аргументе из единичного интервала одна из функций строго меньше корня из пяти, другая - строго больше. ЧТД

[wrest]

Dendr в сообщении #1570213 писал(а):

Как видно, первое выражение перепишется как $f(q)$, второе - $f(q+1)$. На единичном интервале первая монотонно убывает, вторая - монотонно возрастает, и значения минимумов у них одинаковы и равны 2.

Супер! Я это увидел просто построив поверхности в геогебре. Но не смог сформулировать.

[dx_dyf]

Данное выражение однородное, поэтому

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} = \frac{a/a}{b/a}+ \frac{b/a}{a/a} = \frac{1}{\alpha}+\frac{\alpha}{1}$$

$$\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a} = \frac{a/a}{a/a+b/a}+\frac{a/a+b/a}{a/a} = \frac{1}{1+\alpha}+\frac{1+\alpha}{1}$$

Теперь неравенство можно решить в уме.