Задача по теории вероятностей

[Antichny]

Помогите понять задачу: Три игрока по очереди делают ходы. Вероятность выигрыша равна $\frac{1}{3}$ у всех. Выигрывает тот, кто наберет очки после того, как это сделает предыдущий.

Правильно я понимаю, что искомой вероятности соответствует событие: первый игрок проиграет И второй игрок выигрывает И третий игрок выигрывает?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- пжлст, озагл. тему без сокращ.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

-- 15.11.2022, 18:35 --

Развернул аббревиатуру в названии темы. Пжлст, впредь озагл. темы без сокращ.

[mihaild]

Это точно полная формулировка? Если да, то есть ли возможность не пользоваться этим задачником?
Для начала - тут вообще не спрашивается ни о какой вероятности. В последнем предложении что-то говорится о "наборе очков", но ни про какие очки раньше ничего не говорится.
Единственное, что тут можно было бы спросить - это вероятность выигрыша какого-то игрока, но тогда третья фраза не нужна, а вторая сразу содержит ответ.

[Antichny]

К сожалению, это "авторская" задача нашего преподавателя(

-- 15.11.2022, 20:27 --

Нужно найти вероятность выигрыша 3го игрока.

[mihaild]

Antichny в сообщении #1570084 писал(а):

Вероятность выигрыша равна $\frac{1}{3}$ у всех

Тут правда непонятно - если "у всех" значит "у каждого", то у третьего игрока вероятность выигрыша понятно $\frac{1}{3}$. Если "у всех" значит "хоть у кого-то" (т.е. есть шанс что никто не выиграет) - то неизвестно.
Если включить телепатию, то можно предположить (но ответственности за использование этого предположения я не несу): три игрока по кругу кидают монетку с шансом выпадения орла $\frac{1}{3}$. И тут два варианта, между которыми я не знаю, как выбрать:
1. После того, как в последовательности бросков появятся два орла подряд, тот, кому принадлежит второй из них, выигрывает.
2. После того, как в последовательности бросков появится второй орел, тот, кому принадлежит второй из них, выигрывает.
Для обоих случаев несложно выписывается рекуррента из 6 переменных, и там вроде даже можно будет посчитать собственные значения.

[Antichny]

Не подскажете, какой вид будет иметь реккурента для первого случая? Я так понимаю, она будет зависеть от n - числа циклов в игре. Тогда как в таком случае можно посчитать вероятность, если она будет разной для разных n?

[mihaild]

Пусть $p_1$, $p_2$, $p_3$ - вероятности того, что выиграют текущий игрок, следующий и третий, если при предыдущем броске выпала решка (или сейчас первый бросок). Пусть $q_1$, $q_2$, $q_3$ - соответствующие вероятности, если только что выпал орел.
Например, $p_1 = \frac{2}{3} \cdot p_3 + \frac{1}{3} \cdot q_3$. Или $q_3 = \frac{2}{3} \cdot p_2$.
(кстати, я неправильно написал, реккуренту решать не нужно, там просто система линейных уравнений получится)

[Antichny]

Вы правы были, нужно через реккуренту решать, т.к сумма вероятностей исходов соотв. геометрической прогрессии, например, самый короткая игра будет: ПВВ, ПВППВВ, ПВППВППВВ.