Определения случайной величины и борелевской функции

[give_up]

В учебнике Ширяева (издание 2004 г., том 1, с.214) дано следующее определение случайной величины:

Цитата:

Пусть $(\Omega, \mathscr{F})$ – некоторое измеримое пространство. Действительная функция $\xi = \xi(\omega)$, определенная на $(\Omega, \mathscr{F})$, называется $\mathscr{F}$-измеримой функцией или случайной величиной, если для любого множества $B \in \mathscr{B}(\mathbb{R})$ выполняется $\{\omega: ~ \xi(\omega) \in B\} \in \mathscr{F}$, или, что то же самое, если прообраз $\xi^{-1}(B) \equiv \{w: ~ \xi(\omega) \in B\}$ является измеримым множеством в $\Omega$.

В учебнике Боровкова (и во всех других учебниках, которые я просмотрел) определение случайной величины по сути отличается лишь в одном (но важном) моменте, оно имеет следующий вид.

Цитата:

Пусть $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ – некоторое вероятностное пространство. Действительная функция $\xi = \xi(\omega)$, определенная на $(\Omega, \mathscr{F})$, называется случайной величиной, если ... (дальше все то же самое, как в вышеприведенном определении из Ширяева).

То есть, в терминологии Боровкова случайная величина – это измеримая функция на $(\Omega, \mathscr{F})$, с которой однозначно связано фиксированное вероятностное пространстве $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ (у Ширяева же со случайной величиной однозначно связано лишь фиксированное измеримое пространство $(\Omega, \mathscr{F})$), поэтому она однозначно индуцирует распределение $P_\xi$ на $(\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R}))$ (тогда как у Ширяева, очевидно, распределения у случайной величины вообще не будет, если не присоединить к измеримому пространству $(\Omega, \mathscr{F})$ вероятностную меру $P$).

Далее перейдем к определению борелевской функции. В книге Ширяева сразу после определения случайной величины написано следующее:

Цитата:

В том случае, когда $(\Omega, \mathscr{F}) = (\mathbb{R}^n, \mathscr{B}(\mathbb{R}^n))$, $\mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$-измеримые функции называют борелевскими.

Из этого определения сразу следует, что в терминологии Ширяева всякая борелевская функция является частным случаем случайной величины. В учебнике Боровкова определение борелевской функции выглядит точно также (т.е. у него борелевская функция - это $\mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$-измеримая функция на измеримом пространстве $(\Omega, \mathscr{F}) = (\mathbb{R}^n, \mathscr{B}(\mathbb{R}^n))$), но ясно, что в его терминологии она не является случайной величиной (так как вероятностная мера $P$ нигде не фигурирует в определении борелевской функции).

Мой вопрос следующий – насколько общепринятым (популярным) является определение случайной величины, изложенное в учебнике Ширяева (см. первый абзац поста)? Меня оно сильно смущает тем, что из него следует, что все борелевские функции являются случайными величинами. Но ведь вроде никто на практике не называет элементарные функции из матанилиза типа $f(x) = \sin(x)$ или $f(x) = \exp x$, где $x \in \mathbb{R}$, случайными величинами (при этом никто не спорит, что все они являются борелевскими функциями).

[ShMaxG]

В определении случайной величины мера не нужна, поэтому определение Ширяева мне кажется методически более правильным. Распределение у случайной величины появляется, когда появляется вероятностная мера, и для разных вероятностных мер распределение у одной и той же случайной величины (как измеримой функции) будет разным.

Случайные величины -- это обычные функции и к этому следует привыкнуть при изучении теории вероятностей. Да, указанные Вами функции являются борелевскими функциями, а значит и случайными величинами на соответствующем измеримом пространстве. Впрочем к случайным величинам относятся не только "красивые" функции, вроде Ваших, но и всякая экзотика, потому что к борелевским функциям чего только не относится. Хотя борелевские функции - это не всевозможные функции.

[Anton_Peplov]

give_up в сообщении #1569994 писал(а):

Меня оно сильно смущает тем, что из него следует, что все борелевские функции являются случайными величинами.

Да, являются.

Вообще, существует два представления о случайных величинах: рабоче-крестьянское для инженеров и строгое для математиков. Рабоче-крестьянское - это вот:

ИСН в сообщении #1006969 писал(а):

Случайная величина - это чёрный ящик. Бьёшь по нему палкой - выскакивает число, каждый раз другое.

И до XX века примерно такое интуитивное представление и использовалось. А потом математика стала более строгой наукой, и возникла потребность формализовать понятия вероятности, случайной величины, случайного события. Вот тут (спасибо Колмогорову и К) и пригодились понятия теории меры. Как из функции $f(x) = \exp x$ сделать тот самый черный ящик, по которому надо бить палкой - разберетесь сами?

give_up в сообщении #1569994 писал(а):

Но ведь вроде никто на практике не называет элементарные функции из матанализа типа $f(x) = \sin(x)$ или $f(x) = \exp x$, где $x \in \mathbb{R}$, случайными величинами

Потому что вне теории вероятностей нет необходимости их так называть. Как нет необходимости называть измеримое множество - событием.

Вообще, вопрос "нужна ли вероятностная мера для определения случайной величины" выглядит некоторым буквоедством. Верно, что

ShMaxG в сообщении #1570000 писал(а):

Распределение у случайной величины появляется, когда появляется вероятностная мера, и для разных вероятностных мер распределение у одной и той же случайной величины (как измеримой функции) будет разным.

Но любая содержательная задача о случайных величинах подразумевает, что они имеют некоторые распределения, пусть, возможно, и неизвестные нам.

[give_up]

ShMaxG в сообщении #1570000 писал(а):

В определении случайной величины мера не нужна, поэтому определение Ширяева мне кажется методически более правильным.

ShMaxG, Anton_Peplov, И все же сходу я как-то не вижу особых методических преимуществ в определении Ширяева. На мой скромный взгляд практика, объект, определение которого выписано мной вверху первого поста, методически удачнее будет называть $\mathscr{F}$-измеримой функцией (или просто измеримой функцией, если $\mathscr{F}$ очевидна из контекста). А термин "случайная величина" оставить лишь для тех измеримых функций, к которым привязано вероятностное пространство (как сделал Боровков). По крайней мере в базовом курсе по теории вероятностей, в котором нет упора на теорию меры.
Сейчас даже ради интереса открыл пару строгих западных учебников по аксиоматической теории вероятностей. И там (например, в популярном учебнике P. Billingsley "Probability and Measure", 3rd edition, p.254) к случайной величине тоже жестко привязано вероятностное пространство ("A random variable on a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ is a real-valued function $X = X(\omega)$ measurable $\mathscr{F}$"). В англоязычной wikipedia случайная величина тоже задается на вероятностном пространстве. То есть похоже что нет однозначного консенсуса в том, нужно ли привязывать к определению случайной величины вероятностное пространство.

[Anton_Peplov]

give_up в сообщении #1570004 писал(а):

То есть похоже что нет однозначного консенсуса в том, нужно ли привязывать к определению случайной величины вероятностное пространство.

Как в теории чисел нет однозначного консенсуса в том, считать ли нуль натуральным числом. А в топологии в том, называть окрестностью точки $x$ только открытое множество $A \colon x \in A$ или любое множество $A \colon x \in \operatorname{Int} A$. Это мелкие нюансы определений, которые зависят от личного вкуса, традиций и представлений об удобстве. Они не представляют затруднений, если Вы понимаете, что именно определяете и зачем.

[Ende]

Особое мнение Doctor Boom отделено в тему «Мнение Doctor Boom об основаниях теории вероятностей»

[give_up]

Anton_Peplov Ясно, спасибо. С определением случайной величины более-менее понятно стало, что консенсуса нет.

Но у меня остался еще один вопрос про борелевскую функцию, который меня тревожит. Как сказано выше, практически все учебники по теорверу определяют ее как функцию $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, которая является $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) / \mathcal{B}(\mathbb{R})$-измеримой. Правильно ли я понял, что по умолчанию (если явно не оговорено противное) эта функция $g(x)$ в учебниках предполагается заданной исключительно на измеримом пространстве $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$, но не на вероятностном пространстве $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P)$, то есть она не обладает собственным распределением и потому является детерминированной (в качестве примера здесь снова приведу элементарную борелевскую функцию из матанализа $f(x) = \sin(x), \, \forall x \in \mathbb{R}$)?

Ясно, что из определения борелевской функции этого вовсе не следует (ведь ее определение не запрещает нам задать вероятностную меру $P$ на $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$ и рассмотреть распределение $P_g = P \circ g^{-1}$, индуцированное борелевской функцией $g$; по аналогии с тем, как задают распределение для обычной случайной величины $X$, заданной на $(\Omega, \mathcal{F})$). Авторы учебников как-то про этот момент ничего толком не пишут, просто дают определение борелевской функции и все.

И да, на всякий случай скажу, что я в курсе того, что если подставить в детерминированную борелевскую функцию $g(x)$ случайную величину $X$, заданную на некотором вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, то полученная в результате функция $g(X)$ (борелевская функция от случайной величины $X$) сама будет случайной величиной на $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ с распределением, которое целиком определяется по распределению случайной величины $X$. Выше же задан вопрос про исходную функцию $g(x)$, в которую никто не подставлял случайную величину $X$.

[Anton_Peplov]

give_up в сообщении #1570296 писал(а):

Правильно ли я понял, что по умолчанию (если явно не оговорено противное) эта функция $g(x)$ в учебниках предполагается заданной исключительно на измеримом пространстве $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n))$, но не на вероятностном пространстве $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), P)$, то есть она не обладает собственным распределением

Правильно. Борелевская функция - это просто борелевская функция. У нее нет распределения. Распределение будет у случайной величины, которую мы соорудим из этой функции, определив на сигма-алгебре $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ вероятностную меру $P$.

give_up в сообщении #1570296 писал(а):

и потому является детерминированной

Да, она детерминирована в том смысле, что если мы знаем аргумент, то знаем и значение. Никакой случайности, никаких распределений, никаких бросков кубика. Пример элементарной борелевской функции из матанализа $f(x) = \sin(x), \, \forall x \in \mathbb{R}$ здесь вполне уместен.

Правда, мне не очень нравится употребление здесь слова "детерминированный", потому что термин "детерминированная функция" подразумевает, что мы знаем, что такое случайная функция. А на данном этапе введения терминологии мы этого еще как бы не знаем. Мы только приступили к "изобретению" случайных величин. Вот когда случайные величины освоим, тогда и случайные функции за ними подтянутся как их обобщение. Но это скорее эстетическая придирка, по сути же Вы правы.