Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.

[Maxim19]

Здравствуйте, пусть $AB=BA$ над полем комплексных чисел. В задаче про нахождение общих собственных векторов для коммутирующих матриц доказывают инвариантность собственного подпространства оператора $A$ относительно оператора $B$. И в конце доказательства, если рассмотреть собственный вектор оператора $B$ в подпространстве собственном оператора $A$, то там всё докажется и хорошо. Но объясните пожалуйста, почему мы всегда сможем выбрать собственный вектор оператора $B$ в собственном подпространстве оператора $A$?

[ewert]

Maxim19 в сообщении #1569877 писал(а):

почему мы всегда сможем выбрать собственный вектор оператора $B$ в собственном подпространстве оператора $A$?

Если я правильно понял вопрос, то потому, что у любого оператора, действующего в любом пространстве, есть хотя бы один собственный вектор.

[мат-ламер]

ewert в сообщении #1569889 писал(а):

у любого оператора, действующего в любом пространстве, есть хотя бы один собственный вектор.

имея в виду:

Maxim19 в сообщении #1569877 писал(а):

над полем комплексных чисел.

[Maxim19]

Почему это так? Собственные векторы определяются решением системы однородных линейных уравнений. Минимум одно решение есть, но почему это можно сделать во всех подпространствах?

[ewert]

Maxim19 в сообщении #1569893 писал(а):

Минимум одно решение есть, но почему это можно сделать во всех подпространствах?

Потому что подпространство -- это само по себе пространство. Речь ведь не о "всех" подпространствах, а об инвариантных.

[Maxim19]

Всё равно не понимаю, мы же из за комплексных чисел можем в любом операторе выделить собственный вектор, это да, но почему мы так же можем выделить в каком то нами заданном подпространстве? Подробнее пожалуйста.

[ewert]

Вы попросту зациклились на термине "подпространство". Но ведь если оно инвариантно для $B$, то никто не может запретить нам рассматривать сужение этого оператора на это подпространство. И у этого сужения есть собственный вектор; тем более он будет собственным для исходного $B$. Вот и всё; проблемы-то какие?..

[Maxim19]

Теперь понял. Я забыл, что в контексте задачи собственное пространство оператора $A$ инвариантно относительно $B$, а значит сузить можно. Помогли разобраться, спасибо.