2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 06:34 


31/05/22
255
Здравствуйте, пусть $AB=BA$ над полем комплексных чисел. В задаче про нахождение общих собственных векторов для коммутирующих матриц доказывают инвариантность собственного подпространства оператора $A$ относительно оператора $B$. И в конце доказательства, если рассмотреть собственный вектор оператора $B$ в подпространстве собственном оператора $A$, то там всё докажется и хорошо. Но объясните пожалуйста, почему мы всегда сможем выбрать собственный вектор оператора $B$ в собственном подпространстве оператора $A$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 10:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Maxim19 в сообщении #1569877 писал(а):
почему мы всегда сможем выбрать собственный вектор оператора $B$ в собственном подпространстве оператора $A$?

Если я правильно понял вопрос, то потому, что у любого оператора, действующего в любом пространстве, есть хотя бы один собственный вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 10:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
ewert в сообщении #1569889 писал(а):
у любого оператора, действующего в любом пространстве, есть хотя бы один собственный вектор.

имея в виду:
Maxim19 в сообщении #1569877 писал(а):
над полем комплексных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 11:05 


31/05/22
255
Почему это так? Собственные векторы определяются решением системы однородных линейных уравнений. Минимум одно решение есть, но почему это можно сделать во всех подпространствах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 13:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Maxim19 в сообщении #1569893 писал(а):
Минимум одно решение есть, но почему это можно сделать во всех подпространствах?

Потому что подпространство -- это само по себе пространство. Речь ведь не о "всех" подпространствах, а об инвариантных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 17:54 


31/05/22
255
Всё равно не понимаю, мы же из за комплексных чисел можем в любом операторе выделить собственный вектор, это да, но почему мы так же можем выделить в каком то нами заданном подпространстве? Подробнее пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение13.11.2022, 23:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Вы попросту зациклились на термине "подпространство". Но ведь если оно инвариантно для $B$, то никто не может запретить нам рассматривать сужение этого оператора на это подпространство. И у этого сужения есть собственный вектор; тем более он будет собственным для исходного $B$. Вот и всё; проблемы-то какие?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Общие собственные векторы двух коммутирующих матриц.
Сообщение14.11.2022, 00:14 


31/05/22
255
Теперь понял. Я забыл, что в контексте задачи собственное пространство оператора $A$ инвариантно относительно $B$, а значит сузить можно. Помогли разобраться, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group