2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двигатель Карно
Сообщение12.11.2022, 17:43 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Рассмотрим два объекта с одинаковыми конечными теплоемкостями $C$ и начальными температурами $T_1$ и $T_2$. Двигатель Карно работает, используя эти объекты в качестве своих горячих и холодных резервуаров, пока они не будут иметь одинаковую температуру. Предположим, что изменения температуры как в горячем, так и в холодном резервуаре очень малы по сравнению с температурой в течение любого одного цикла двигателя Карно. То есть теплоемкость рабочего тела много меньше теплоемкости обоих резервуаров.
a. Найдите конечную температуру двух объектов $T_f$ и общую работу $W$, выполненную двигателем.

Теперь рассмотрим три объекта с одинаковой и постоянной теплоемкостью $C$ при начальных температурах $T_1=100K, T_2=200K, T_3=300K$
Предположим, мы хотим повысить температуру третьего объекта. Для этого мы могли бы запустить двигатель Карно между первым и вторым объектами, извлекая работу $W$. Затем эта работа может быть рассеяна в виде тепла для повышения температуры третьего объекта. Более того, ее можно хранить и использовать для запуска двигателя Карно между первым и третьим объектом в обратном направлении, который перекачивает тепло в третий объект. Предположим, что вся работа, производимая работающими двигателями, может накапливаться и использоваться без рассеяния.
b. Найдите минимальную температуру $T_L$ , до которой можно опустить первый объект.
c. Найдите максимальную температуру $T_H$ , до которой можно нагреть третий объект.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двигатель Карно
Сообщение12.11.2022, 22:40 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Прошу прощения. В условии где даны три температуры, $T_2=300K$, а не $200K$.
Это не сильно принципиально, но численно упрощает решение задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двигатель Карно
Сообщение13.11.2022, 00:17 


18/09/21
1483
fred1996 в сообщении #1569833 писал(а):
Более того, ее можно хранить и использовать для запуска двигателя Карно между первым и третьим объектом в обратном направлении
Вместо того чтобы накапливать энергию и потом греть 3, выгоднее наверно одновременно проводить два процесса: получать работу из "1-2" и нагревать 3 из "2-3" используя эту энергию сразу.

По решению - мгновенный КПД равен $\frac{T_{hot}-T_{cold}}{T_{hot}}$. Из него получаем простенький дифур для процесса, когда температру нагревателя/холодильника не постоянны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двигатель Карно
Сообщение13.11.2022, 07:27 
Заслуженный участник


28/12/12
7411
Известная задача, решать проще всего через сохранение энергии и энтропии.

(Оффтоп)

В первом случае получается
$$A=C\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)^2.$$

Во втором выходит кубическое уравнение
$$T'(T_1+T_2+T_3-2T')^2=T_1T_2T_3.$$
Альфа дает $T_H=400$ К и $T_L=100$ К. Второе очевидно, бо два прочих тела уже имеют одинаковые температуры, и с сохранением энтропии больше энергии им не отдать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двигатель Карно
Сообщение13.11.2022, 16:24 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
DimaM
Мне даже добавить нечего к представленному вами решению.
Кроме того, что когда мы имеем дело с циклом Карно, нас практически всегда выручает понятие энтропии.
Хотя, конечно, можно воспользоваться ещё формулой для кпд этого цикла. Что практически одно и то же.
Лично я первый раз наткнулся на эту задачу лет 5 назад. И тогда она покорила меня своей изящной красотой. Сейчас вот наткнулся ещё раз случайно. В термодинамике газов не так моного красивых задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двигатель Карно
Сообщение13.11.2022, 17:52 


18/09/21
1483
Если интересно, вот другая задача (когда-то давно решал).
Есть холодный резервуар неограниченной теплоёмкости (например, окружающая среда) и постоянной температуры $T_1$.
И есть горячее тело теплоёмкости $C$ независящей от температуры и изначально нагретое до температуры $T_2$.
Какую максимальную работу можно получить охлаждая это горячее тело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двигатель Карно
Сообщение15.11.2022, 01:27 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
zykov

(Мой ответ)

$W=Cm[T_2-T_1-T_1\ln(T_2/T_1)]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group