Двигатель Карно

[fred1996]

Рассмотрим два объекта с одинаковыми конечными теплоемкостями $C$ и начальными температурами $T_1$ и $T_2$. Двигатель Карно работает, используя эти объекты в качестве своих горячих и холодных резервуаров, пока они не будут иметь одинаковую температуру. Предположим, что изменения температуры как в горячем, так и в холодном резервуаре очень малы по сравнению с температурой в течение любого одного цикла двигателя Карно. То есть теплоемкость рабочего тела много меньше теплоемкости обоих резервуаров.
a. Найдите конечную температуру двух объектов $T_f$ и общую работу $W$, выполненную двигателем.

Теперь рассмотрим три объекта с одинаковой и постоянной теплоемкостью $C$ при начальных температурах $T_1=100K, T_2=200K, T_3=300K$
Предположим, мы хотим повысить температуру третьего объекта. Для этого мы могли бы запустить двигатель Карно между первым и вторым объектами, извлекая работу $W$. Затем эта работа может быть рассеяна в виде тепла для повышения температуры третьего объекта. Более того, ее можно хранить и использовать для запуска двигателя Карно между первым и третьим объектом в обратном направлении, который перекачивает тепло в третий объект. Предположим, что вся работа, производимая работающими двигателями, может накапливаться и использоваться без рассеяния.
b. Найдите минимальную температуру $T_L$ , до которой можно опустить первый объект.
c. Найдите максимальную температуру $T_H$ , до которой можно нагреть третий объект.

[fred1996]

Прошу прощения. В условии где даны три температуры, $T_2=300K$, а не $200K$.
Это не сильно принципиально, но численно упрощает решение задачи.

[zykov]

fred1996 в сообщении #1569833 писал(а):

Более того, ее можно хранить и использовать для запуска двигателя Карно между первым и третьим объектом в обратном направлении

Вместо того чтобы накапливать энергию и потом греть 3, выгоднее наверно одновременно проводить два процесса: получать работу из "1-2" и нагревать 3 из "2-3" используя эту энергию сразу.

По решению - мгновенный КПД равен $\frac{T_{hot}-T_{cold}}{T_{hot}}$. Из него получаем простенький дифур для процесса, когда температру нагревателя/холодильника не постоянны.

[DimaM]

Известная задача, решать проще всего через сохранение энергии и энтропии.

(Оффтоп)

В первом случае получается

$$A=C\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)^2.$$

Во втором выходит кубическое уравнение

$$T'(T_1+T_2+T_3-2T')^2=T_1T_2T_3.$$

Альфа дает $T_H=400$ К и $T_L=100$ К. Второе очевидно, бо два прочих тела уже имеют одинаковые температуры, и с сохранением энтропии больше энергии им не отдать.

[fred1996]

DimaM
Мне даже добавить нечего к представленному вами решению.
Кроме того, что когда мы имеем дело с циклом Карно, нас практически всегда выручает понятие энтропии.
Хотя, конечно, можно воспользоваться ещё формулой для кпд этого цикла. Что практически одно и то же.
Лично я первый раз наткнулся на эту задачу лет 5 назад. И тогда она покорила меня своей изящной красотой. Сейчас вот наткнулся ещё раз случайно. В термодинамике газов не так моного красивых задач.

[zykov]

Если интересно, вот другая задача (когда-то давно решал).
Есть холодный резервуар неограниченной теплоёмкости (например, окружающая среда) и постоянной температуры $T_1$.
И есть горячее тело теплоёмкости $C$ независящей от температуры и изначально нагретое до температуры $T_2$.
Какую максимальную работу можно получить охлаждая это горячее тело.

[fred1996]

zykov

(Мой ответ)

$W=Cm[T_2-T_1-T_1\ln(T_2/T_1)]$