В решении вылез интеграл

[Antichny]

Решал задачу, вылез интеграл, пробовал разными методами, но не получилось решить, в целом можно ли его решить стандартными методами:

$$\int\limits_{-1}^{1}cos(x)\ln(x+\sqrt{1+x^2})dx$$

.

[warlock66613]

Ну, первый шаг напрашивается по частям: и логарифм и косинус — идеальное сочетание.

[lel0lel]

Докажите, что функция нечётная.

[Antichny]

$cos x$ - чётная функция, логарифм не является ни чётной, ни нечётной. По частям пробовал, пришёл к интегралу:

$$\int\limits_{-1}^{1}sin(x)*\sqrt{x^2+1}dx$$

. Здесь нечнтность даёт синус. Значит ли это, что этот интеграл равняется 0?

[svv]

Antichny в сообщении #1569777 писал(а):

$cos x$ - чётная функция, логарифм не является ни чётной, ни нечётной.

Всё это верно. Но здесь не $\ln x$, а $f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$. Так что ещё более конкретная подсказка — докажите, что $f(x)$ нечётна.

[warlock66613]

Да, значит.

Что интересно, изначально под интегралом тоже нечётная функция, хотя лично я не понимаю как это может быть.

[lel0lel]

Antichny в сообщении #1569777 писал(а):

$cos x$ - чётная функция, логарифм не является ни чётной, ни нечётной. По частям пробовал, пришёл к интегралу функции

$$\int\limits_{-1}^{1}sin(x)*\sqrt{x^2+1}dx$$

. Здесь нечнтность даёт синус. Значит ли это, что этот интеграл равняется 0?

Да, так как интегрирование в симметричных пределах. Только можно без интегрирования по частям. Ведь это только на первый взгляд логарифм ни чётный, ни нечётный. А на второй оказывается нечётным. Заметьте, что $x+\sqrt{x^2+1}=(-x+\sqrt{x^2+1})^{-1}$. В общем, уже всё сказали.

[Antichny]

Всем спасибо, дошло. Странно, что преобразованиями нельзя прийти к конечному результату.

[wrest]

warlock66613 в сообщении #1569780 писал(а):

хотя лично я не понимаю как это может быть.

Ну просто это обратный гиперболический синус, вот и всё.

[Евгений Машеров]

Antichny в сообщении #1569759 писал(а):

Решал задачу, вылез интеграл, пробовал разными методами, но не получилось решить, в целом можно ли его решить стандартными методами:
$\int\limits_{-1}^{1}cos(x)\ln(x+\sqrt{1+x^2})dx$.

- Чему равен этот интеграл? Саша Пушкин, к доске!
- Нулю, господин учитель!