2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 21:08 
Решал задачу, вылез интеграл, пробовал разными методами, но не получилось решить, в целом можно ли его решить стандартными методами:
$$\int\limits_{-1}^{1}cos(x)\ln(x+\sqrt{1+x^2})dx$$.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 21:26 
Ну, первый шаг напрашивается по частям: и логарифм и косинус — идеальное сочетание.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 21:30 
Докажите, что функция нечётная.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 23:40 
$cos x$ - чётная функция, логарифм не является ни чётной, ни нечётной. По частям пробовал, пришёл к интегралу: $$\int\limits_{-1}^{1}sin(x)*\sqrt{x^2+1}dx$$. Здесь нечнтность даёт синус. Значит ли это, что этот интеграл равняется 0?

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 23:45 
Аватара пользователя
Antichny в сообщении #1569777 писал(а):
$cos x$ - чётная функция, логарифм не является ни чётной, ни нечётной.
Всё это верно. Но здесь не $\ln x$, а $f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$. Так что ещё более конкретная подсказка — докажите, что $f(x)$ нечётна.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 23:47 
Да, значит.

Что интересно, изначально под интегралом тоже нечётная функция, хотя лично я не понимаю как это может быть.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение11.11.2022, 23:49 
Antichny в сообщении #1569777 писал(а):
$cos x$ - чётная функция, логарифм не является ни чётной, ни нечётной. По частям пробовал, пришёл к интегралу функции $$\int\limits_{-1}^{1}sin(x)*\sqrt{x^2+1}dx$$. Здесь нечнтность даёт синус. Значит ли это, что этот интеграл равняется 0?
Да, так как интегрирование в симметричных пределах. Только можно без интегрирования по частям. Ведь это только на первый взгляд логарифм ни чётный, ни нечётный. А на второй оказывается нечётным. Заметьте, что $x+\sqrt{x^2+1}=(-x+\sqrt{x^2+1})^{-1}$. В общем, уже всё сказали.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение12.11.2022, 00:32 
Всем спасибо, дошло. Странно, что преобразованиями нельзя прийти к конечному результату.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение12.11.2022, 03:27 
warlock66613 в сообщении #1569780 писал(а):
хотя лично я не понимаю как это может быть.

Ну просто это обратный гиперболический синус, вот и всё.

 
 
 
 Re: В решении вылез интеграл
Сообщение13.11.2022, 19:06 
Аватара пользователя
Antichny в сообщении #1569759 писал(а):
Решал задачу, вылез интеграл, пробовал разными методами, но не получилось решить, в целом можно ли его решить стандартными методами:
$\int\limits_{-1}^{1}cos(x)\ln(x+\sqrt{1+x^2})dx$.


- Чему равен этот интеграл? Саша Пушкин, к доске!
- Нулю, господин учитель!

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group