Задача про 13 гирек.

[Maxim19]

Здравствуйте, помогите решить вот такую задачу: дано 13 гирь и известно, что убрав любую из них, можно остальные разложить на чаши весов по 6 гирь на каждой так, чтобы чаши были в равновесном состоянии. Докажите, что все гири весят одинаково.
Можно расписать это через систему линейных уравнений, где матрица коэффициентов есть матрица с нулевыми элементами на диагонали, и на каждой строке по 6 единиц и по 6 минус единиц. Так как это однородная СЛУ, то для того, чтобы гири не были одинакового веса, необходимо, чтобы матрица коэффициентов имела ранг более 11, так как вектор одного решения у нас есть: все гири одинакового веса. Я пытался убирать из матрицы какую либо строку и доказывать, что остальные строки линейно независимы, но что то не получается. Есть у кого нибудь идеи?

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1569550 писал(а):

то для того, чтобы гири не были одинакового веса, необходимо, чтобы матрица коэффициентов имела ранг более 11, так как вектор одного решения у нас есть: все гири одинакового веса

Тут что-то не так, потому что если у нас была бы система "каждая гиря весит как первая", то у неё был бы ранг более 11 (а именно 12), но все гири были бы одного веса.

Посмотрите на вашу матрицу над $\mathbb Z_2$. Вычтите её из единичной матрицы. Учтите, что ранг над $\mathbb Z_2$ не меньше ранга над $\mathbb R$, и что ранг разности не меньше разности рангов.

[Gagarin1968]

Любопытно рассмотреть частный случай, наложив на веса гирь ограничение - все они суть целые числа.
Тогда, если мы вычтем из суммы 13 слагаемых любое из них, то получим чётное число, а стало быть, эти 13 чисел либо все чётны, либо все нечётны.
А отсюда уже легко вытекает решение.

[Null]

Gagarin1968 в сообщении #1569616 писал(а):

А отсюда уже легко вытекает решение.

Да. Известная задача. Решаем в начале в $\mathbb{Z}$, потом в $\mathbb{Q}$ и, наконец, в $\mathbb{R}$