то для того, чтобы гири не были одинакового веса, необходимо, чтобы матрица коэффициентов имела ранг более 11, так как вектор одного решения у нас есть: все гири одинакового веса
Тут что-то не так, потому что если у нас была бы система "каждая гиря весит как первая", то у неё был бы ранг более 11 (а именно 12), но все гири были бы одного веса.
Посмотрите на вашу матрицу над

. Вычтите её из единичной матрицы. Учтите, что ранг над

не меньше ранга над

, и что ранг разности не меньше разности рангов.