2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача про 13 гирек.
Сообщение09.11.2022, 23:45 
Здравствуйте, помогите решить вот такую задачу: дано 13 гирь и известно, что убрав любую из них, можно остальные разложить на чаши весов по 6 гирь на каждой так, чтобы чаши были в равновесном состоянии. Докажите, что все гири весят одинаково.
Можно расписать это через систему линейных уравнений, где матрица коэффициентов есть матрица с нулевыми элементами на диагонали, и на каждой строке по 6 единиц и по 6 минус единиц. Так как это однородная СЛУ, то для того, чтобы гири не были одинакового веса, необходимо, чтобы матрица коэффициентов имела ранг более 11, так как вектор одного решения у нас есть: все гири одинакового веса. Я пытался убирать из матрицы какую либо строку и доказывать, что остальные строки линейно независимы, но что то не получается. Есть у кого нибудь идеи?

 
 
 
 Re: Задача про 13 гирек.
Сообщение10.11.2022, 01:01 
Аватара пользователя
Maxim19 в сообщении #1569550 писал(а):
то для того, чтобы гири не были одинакового веса, необходимо, чтобы матрица коэффициентов имела ранг более 11, так как вектор одного решения у нас есть: все гири одинакового веса
Тут что-то не так, потому что если у нас была бы система "каждая гиря весит как первая", то у неё был бы ранг более 11 (а именно 12), но все гири были бы одного веса.

Посмотрите на вашу матрицу над $\mathbb Z_2$. Вычтите её из единичной матрицы. Учтите, что ранг над $\mathbb Z_2$ не меньше ранга над $\mathbb R$, и что ранг разности не меньше разности рангов.

 
 
 
 Re: Задача про 13 гирек.
Сообщение10.11.2022, 13:52 
Аватара пользователя
Любопытно рассмотреть частный случай, наложив на веса гирь ограничение - все они суть целые числа.
Тогда, если мы вычтем из суммы 13 слагаемых любое из них, то получим чётное число, а стало быть, эти 13 чисел либо все чётны, либо все нечётны.
А отсюда уже легко вытекает решение.

 
 
 
 Re: Задача про 13 гирек.
Сообщение10.11.2022, 16:53 
Gagarin1968 в сообщении #1569616 писал(а):
А отсюда уже легко вытекает решение.
Да. Известная задача. Решаем в начале в $\mathbb{Z}$, потом в $\mathbb{Q}$ и, наконец, в $\mathbb{R}$

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group