26+4=40 и разрывное всюду

[gris]

На выходных посиделках принесли немножко задач из ютюба.
Заглавную отдаю желающим: Надо переместить цифру в равенстве $26+4=40$, чтобы сделать равенство верным.
Вторая полегче:
Найти или доказать, что нету, две функции $f,g$ из $[0,1]$ в $[0,1]$ таких, что $f(x)$ везде непрерывна, а $g(x)$ везде разрывна и $f(g(x))=x$
Намёк на попытку самостоятельного решения на картинке.
$ \begin{picture}(240,100) \put(0,0){\line(1,0){100}} \put(0,0){\line(0,1){100}} \put(100,100){\line(-1,0){100}} \put(100,100){\line(0,-1){100}} \put(140,0){\line(1,0){100}} \put(140,0){\line(0,1){100}} \put(240,100){\line(-1,0){100}} \put(240,100){\line(0,-1){100}} \put(20,90){\textbf{G}} \put(160,90){\textbf{F}} \multiput(-3,60)(5,2){20}{ \circle*{2} } \multiput(-3,40)(5,-2){20}{ \circle*{2} } \multiput(176,0)(1,0){3}{ \line (-2,5){40} } \multiput(196,0)(1,0){3}{ \line (2,5){40} } \put(180,1){\line(1,0){20}} \put(180,2){\line(1,0){20}} \end{picture} $
c пояснением, что пунктиры означают, что значения функции выбираются поочерёдно то на верхней ветке, то на нижней
Кстати, прошло, а слова про разделение отрезка на два плотных на нём подмножества потребовали рассуждений.
Затруднение в следующем запросе: чтобы и $g(f(x))=x$.
Как быть?

[lel0lel]

gris в сообщении #1569355 писал(а):

Надо переместить цифру в равенстве $26+4=40$, чтобы сделать равенство верным.

Шесть в квадрате?

[mihaild]

gris в сообщении #1569355 писал(а):

Затруднение в следующем запросе: чтобы и $g(f(x))=x$.

Никак. Нужно чтобы $f$ была инъективна, а биекция, непрерывная на компакте, непрерывна в обе стороны.

[gris]

lel0lel, а разве можно записывать показатель степени таким же по размеру, как основание? Я не знал
mihaild, это да.
А вот такое требование: $f(g(x))=x$, a функция $g$ это отображение на. То есть $\forall y\in [0,1] \exists x \in [0,1]: g(x)=y$

[mihaild]

gris в сообщении #1569363 писал(а):

А вот такое требование: $f(g(x))=x$, a функция $g$ это отображение на

Тогда $f$ опять же обязана быть биекцией.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1569359 писал(а):

Шесть в квадрате?

Ну вот, а я только глянул на $2^6$ неподходит, а наоборот недодумался

[gris]

mihaild И пусть будет. Кстати, если разрешить у $g$ только одну непрерывную точку, то пример строится по той же картинке, только ветки в нуле, например, соединяются.
wrest, специально для вас новое условие (то уже недоступно для правки ): $2^6+4=40$

[mihaild]

gris, и опять же, $f$ непрерывная биекция отрезка в себя, а значит гомеоморфизм. Графически - график $f$ это кривая из $(0, 0)$ в $(1, 1)$ (или наоборот из $(0, 1)$ в $(1, 0)$), а график $g$ тогда обязан быть той же кривой, отраженной относительно прямой $x = y$.

Ваша $g$ сильно не сюръективна. Возьмите $x_0$ такой что $g(x_0) > 1/2$, и найдите прообраз относительно $g$ точки $\lim\limits_{x \to x_0,\\g(x) < 1/2} g(x)$.

[gris]

mihaild, я оставил только одну композицию, как первоначально, то есть $f(g(x))=x$. Почему $g(x)$ не сюръективна?

[mihaild]

Пусть $g$ сюръективна, а $f$ непрерывна. Тогда $f$ - непрерывная (по условию) сюръекция (потому что $f(y) = x$ всегда разрешимо относительно $y$, берем $y = g^{-1}(x)$) и инъекция (потому что если $f(y_1) = f(y_2)$ то либо $y_1$ либо $y_2$ либо оба не лежат в образе $g$). Т.е. непрерывная биекция отрезка в себя. Обратная к такой биекции (хоть слева, хоть справа, ну и вообще у биекции левый и правый обратные совпадают) - тоже непрерывна.

gris в сообщении #1569372 писал(а):

Почему $g(x)$ не сюръективна?

Рассуждение выше - про вашу конкретную $g$ на рисунке (график которой, насколько я понимаю, представляет например рациональные точки с отрезка $y = 1/2 - x$ и иррациональные с $y = 1/2 + x$). В общем случае - аргумент выше показывает, что если $f$ непрерывна, $f(g(x)) = x$ и $g$ сюръективна, то $g = f^{-1}$ - тоже непрерывна.

[miflin]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1569363 писал(а):

разве можно записывать показатель степени таким же по размеру, как основание?

Если в том же Word'е в выражении $62$ применить к двойке опцию $x^2$,
то размер шрифта у двойки не изменится, хотя визуально она станет выглядеть меньшей.
И это вполне объяснимо: предмет, "поднятый на высоту", кажется меньшим, чем вблизи,
оставаясь в то же время таким же по размеру.

[gris]

Вот никак до меня не доходит. Вообще-то $f$ не обязана быть обратной. У меня она дополнение обратной до непрерывной, поэтому не инъекция и не биекция.

[mihaild]

$g$ инъекция, иначе не получится $f(g(x)) = x$. $g$ сюръекция, потому что вы этого потребовали.
Значит $g$ биекция. Раз $g$ биекция и $f(g(x)) = x$, то $f$ тоже биекция, $f$ обратная к $g$, а $g$ обратная к $f$.

gris в сообщении #1569376 писал(а):

У меня она дополнение обратной до непрерывной

У вас на картинке $g$ не сюръекция. В точки на $Oy$, лежащие напротив дырок, ничего не попадает.

[gris]

mihaild, да, я и забыл:( Тогда, если потребовать сюрьекции, то разрывности не получится. А жаль.
Спасибо.

[gris]

Тогда всем ответившим комикс. Это тоже оттуда.

$ \begin{picture}(800,100) \put(0,0){\line(1,0){100}} \put(0,0){\line(1,1){100}} \put(100,0){\line(0,1){100}} \put(40,50){\text{n}} \put(90,40){\text{m}} \put(50,5){\text{m}} \put(10,80){\text{(n,m)}} \put(120,0){\line(1,0){100}} \put(120,0){\line(1,1){100}} \put(220,0){\line(0,1){100}} \put(165,60){\text{m}} \put(210,40){\text{m}} \put(160,5){\text{m}} \put(120,20){\text{n-m}} \put(149,29){\circle*{3}} \qbezier(149,29)(175,4)(220,0) \put(240,0){\line(1,0){100}} \put(240,0){\line(1,1){100}} \put(340,0){\line(0,1){100}} \put(269,29){\circle*{3}} \qbezier(269,29)(295,4)(340,0) \put(269,29){\line(1,-1){32}} \put(297,0){\circle*{3}} \put(255,2){\text{m-k}} \put(315,-8){\text{k}} \put(243,12){\text{k}} \put(278,7){\text{k}} \put(360,0){\line(1,0){60}} \put(360,0){\line(1,1){30}} \put(389,29){\line(1,-1){29}} \put(390,2){\text{i}} \put(366,14){\text{k}} \put(409,14){\text{k}} \put(370,40){\text{(i<n,k<m)}} \end{picture} $