Усреднение по единичной сфере

[George M]

Здравствуйте, я столкнулся со следующей задачей:

Вычислить в трехмерном пространстве среднее по единичной сфере: $\langle \partial_{i } \partial_{j} r^{-1} \rangle $

Но я не могу нигде найти математического описания операции усреднения по единичной сфере. Не могли бы вы мне подсказать, какой интеграл мне необходимо вычислить? А с задачей, я думаю, что справлюсь

[Aritaborian]

George M в сообщении #1569350 писал(а):

Но я не могу нигде найти математического описания операции усреднения по единичной сфере.

Но вы хотя бы пытались загуглить фразу average on unit sphere, сходить-почитать по ссылкам? Неужели ничего дельного не пишут?

[GAA]

(Поверхностный интеграл первого рода)
$\langle \partial_{i } \partial_{j} r^{-1} \rangle = \frac 1 S \int_{\Sigma} \partial_{i } \partial_{j} r^{-1} d\sigma$,
где $S$ — площадь единичной сферы; $d\sigma$ — элемент площади; интегрирование выполняется по единичной сфере $\Sigma$.
В разных книгах договорённости слегка отличаются. Поэтому может и не быть деления на $S$.

Для вычисления поверхностного интеграла можно перейти в сферическую систему координат. Но можно попробовать и в исходной декартовой системе. В исходной декартовой можно попробовать свести к двойному интегралу. В частности выбирая область интегрирования в плоскости $XY$ (область интегрирования $x^2+y^2<1$), элемент площади для верхней части сферы будет иметь вид
$d\sigma = \sqrt {1+(\partial_x f(x, y))^2 + (\partial_y f(x, y))^2} dxdy$,
где $f(x, y) = \sqrt{1-x^2-y^2}$. Он же (вид элемента площади) будет и для нижней части сферы.

[Padawan]

George M в сообщении #1569350 писал(а):

$\langle \partial_{i } \partial_{j} r^{-1} \rangle $

Чему это равно в координатах? Если $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.

[George M]

Полагаю, что $\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}$

[GAA]

Это если $i \ne j$. И в этом случае среднее очевидно равно нулю, но можно и интеграл вычислить (и получить 0).

[Padawan]

George M в сообщении #1569385 писал(а):

Полагаю, что $\frac{x_{i}x_{j}}{r^{5}}$

Пересчитайте. У меня получилось другое выражение: $3r^{-5} x_ix_j-r^{-3}\delta_{ij}$ ($\delta_{ij}$ -- символ Кронекера).

[George M]

Спасибо вам всем, я смог дорешать задачу и прийти к верным ответам

[svv]

А какой ответ получился?

[svv]

Я к тому, что есть такой способ:
1) Как заметил GAA, при $i\neq j$ получаем нуль (функция $\partial_i \partial_j r^{-1}$ нечётна по $x_i$, а область интегрирования симметрична).
2) Пусть $i=j\in\{1,2,3\}$. Надо усреднить функцию $\partial_i^2r^{-1}$. В силу симметрии результат не зависит от $i$. Тогда
$\partial_i^2r^{-1}=\frac 1 3(\partial_1^2+\partial_2^2+\partial_3^2)r^{-1}=\frac 1 3\Delta r^{-1}$
3) Но функция $r^{-1}$ гармоническая в трёхмерном пространстве (всюду, кроме начала координат, но оно не попадает в область интегрирования).

[мат-ламер]

Поскольку ответ получен и топик-стартер удовлетворён, позвольте вклиниться со своими примитивными соображениями и вопросами. Случайно совпало, что я тут повторяю начала электростатики и дошёл до вычисления поле диполя. Возник вопрос, вот та штука, которую мы усредняем, она имеет в физике какое-нибудь специальное название? Если ею подействовать на элементарный вектор, который является моментом некоторого диполя, то получим поле этого диполя (с обратным знаком). Если поместить диполь в центр сферы, то в среднем его поле по всей сфере равно нулю. То есть $\int A pdS=0$ . Здесь знаком интеграла я обозначил усреднение по сфере, буквой $A$ обозначил тот оператор (линейный), который усредняем (можно назвать его якобианом, можно вторым дифференциалом, можно второй производной - не знаю как это будет в физике наиболее политкорректно), буквой $p$ - диполь в центре сферы, $S$ - сама сфера. Очевидно оператор $A$ и оператор усреднения коммутируют и можем написать $\left( \int A dS \right) p =0$ . Поскольку это выполняется для любого $p$ , то получаем, что $ \int A dS =0$ , что намекает на нулевой ответ в задаче. И уже возникает у меня второй вопрос, на сколько эти рассуждения корректные?

[мат-ламер]

Padawan в сообщении #1569392 писал(а):

У меня получилось другое выражение: $3r^{-5} x_ix_j-r^{-3}\delta_{ij}$ ($\delta_{ij}$ -- символ Кронекера).

У меня получилось аналогичное выражение (в моих обозначениях): $ 3\vec{r}\ ' \vec{r} r^{-5}-Ir^{-3} $ , где $\vec{r} =\{x,y,z\}$ , $r=|\vec{r}|$ , штрих означает транспонирование (перевод строки в столбец), $I$ - тождественный оператор. Действуя этим выражением (которое есть оператор) на вектор дипольного момента $\vec{p}$ , получаем для поля диполя выражение $3 \vec{r} (\vec{r} \cdot \vec{p})r^{-5} - \vec{p}r^{-3} $ (точка означает скалярное произведение).

[мат-ламер]

Но если считать в лоб усреднение для какого-либо диагонального элемента, то надо взять интеграл по сфере (или по полусфере) от $3x^2-1$ , что в угловых координатах получаем интеграл $\int\limits_{-\pi \slash 2}^{\pi \slash 2} \sin \theta (3 \cos ^2 \theta -1) d \theta =0$ . Здесь $x=\cos \theta$ , а элемент сферы имеет площадь пропорциональную $\sin \theta$ . Так что опять приходим к нулевому ответу.

[svv]

мат-ламер в сообщении #1569425 писал(а):

вот та штука, которую мы усредняем, она имеет в физике какое-нибудь специальное название?

Она даже в математике имеет специальное название. Набор всех вторых частных производных $\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}$ от скалярной функции $f$ образует матрицу Гессе, см. в Википедии статью Гессиан функции.

В физике потенциал вида $\sum\limits_{i,j}Q_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}\frac 1 r$ — это потенциал квадруполя с квадрупольным моментом (тензором второго ранга) $Q_{ij}$. К сожалению, прямо отождествить каждую из функций $\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}\frac 1 r$ с потенциалом некоторого "базисного" квадруполя мешает требование, чтобы этот тензор имел нулевой след, $Q_{11}+Q_{22}+Q_{33}=0$.

мат-ламер в сообщении #1569425 писал(а):

Очевидно оператор $A$ и оператор усреднения коммутируют и можем написать $\left( \int A dS \right) p =0$ .

Тут я не понял. Допустим, мы хотим сначала усреднить по сфере, потом применить дифференциальный оператор $A$. Результат усреднения в любом случае не зависит от координат, так как сфера фиксирована. По какой переменной теперь дифференцировать?

[мат-ламер]

svv в сообщении #1569567 писал(а):

Она даже в математике имеет специальное название.

svv в сообщении #1569567 писал(а):

см. в Википедии статью Гессиан функции

То, что в математике он имеет специальное название, я в курсе. Однако, меня тут попутал склероз и вместо фамилии Гессе я упомянул другую фамилию. Будем считать это опечаткой. Я думал, что в виду очень простого ответа задача имеет какой-то скрытый физический смысл, который позволит получить ответ без особых вычислений.

svv в сообщении #1569567 писал(а):

Тут я не понял. Допустим, мы хотим сначала усреднить по сфере, потом применить дифференциальный оператор $A$.

Э-э, нет. Я предполагаю, что дифференциальный оператор мы сначала уже подсчитали. Имея в виду некоторые соображения симметрии, ясно что внедиагональные элементы этого оператора нулевые. Также соображения симметрии наталкивают на мысль, что диагональные элементы его равны. Также соображения симметрии подсказывают, что этот оператор должен быть одинаковым для всех точек сферы ( а чем одна точка сферы лучше другой). И получается, что скорее всего оператор имеет вид $\lambda I$ , где $I$ - тождественный оператор. И тут не совсем очевидно, что $\lambda = 0$ .

Но это не особо важно. (В конце концов это были лишь интуитивные догадки, которые нуждаются в обосновании). Важно, что этот оператор уже вычислен для всех точек сферы. И тут имеется две возможности. Первая. Применить этот оператор к некоторому произвольному диполю, который находится в центре сферы. Тем самым мы получим векторное поле на сфере, которое является напряжённостью на сфере электрического поля диполя. Вторая. Усреднить этот оператор по всей сфере. А затем его применить к тому же самому произвольному диполю. Опять же получим векторное поле на сфере.