функциональное интегральное уравнение

[Женисбек]

Функция $f(x)\in C(\mathbb{R})$ удовлетворяет уравнению
$f(x)=\int_{-x}^x f(t)dt$.
Верно ли, что
$f(x)\equiv0$
?

[Trotil]

У меня свелось к
$f(x)+f(-x)=f'(x)$
$f''(x)=0$
$=>f(x)=ax+b$
Подстановкой получил, что $a=0,b=0$

Но не уверен в правильности действий.

[ewert]

Правильно и даже корректно. Функция $f'$ -- чётная, и после её дифференцирования (а оно законно) действительно получаем тождественный ноль.

[vvvv]

Этот пример опровергает предположение о тождественном нуле.

[ewert]

Да, а без дифференцирования обойтись всё же можно. Представим функцию $f$ в виде суммы чётной и нечётной составляющих. Интеграл от нечётной тождественно равен нулю, а от чётной -- естественно, нечётен. Т.е. функция $f$ всё-таки нечётна и, следовательно, интеграл от неё есть ноль.