2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 функциональное интегральное уравнение
Сообщение09.11.2008, 10:15 
Функция $f(x)\in C(\mathbb{R})$ удовлетворяет уравнению
$f(x)=\int_{-x}^x f(t)dt$.
Верно ли, что
$f(x)\equiv0$
?

 
 
 
 
Сообщение09.11.2008, 10:55 
Аватара пользователя
У меня свелось к
$f(x)+f(-x)=f'(x)$
$f''(x)=0$
$=>f(x)=ax+b$
Подстановкой получил, что $a=0,b=0$

Но не уверен в правильности действий.

 
 
 
 
Сообщение09.11.2008, 11:05 
Правильно и даже корректно. Функция $f'$ -- чётная, и после её дифференцирования (а оно законно) действительно получаем тождественный ноль.

 
 
 
 
Сообщение09.11.2008, 13:38 
Этот пример опровергает предположение о тождественном нуле.
Изображение

 
 
 
 
Сообщение09.11.2008, 14:02 
Да, а без дифференцирования обойтись всё же можно. Представим функцию $f$ в виде суммы чётной и нечётной составляющих. Интеграл от нечётной тождественно равен нулю, а от чётной -- естественно, нечётен. Т.е. функция $f$ всё-таки нечётна и, следовательно, интеграл от неё есть ноль.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group