Задача в натуральных числах: для достаточно большого фиксированного

найти лучшее нижнее приближение

. В свое время долго ломал над ней голову, но так ничего и не придумал. Вопрос немножко детский в силу простоты условия, и может быть решен перебором, но всегда ведь хочется чего-то большего. Рассмотрим три случая.
1)

кратно целому квадрату

Тогда возможно точное равенство

2) Четное

свободно от квадратов. В этом случае решением является выражение

3) Нечетное

, свободное от квадратов. Если

составное, и пара

— решение

справедливы следующие сравнения:

В случае простого

выполняются похожие соотношения с той разницей, что вместо единицы в правой части сравнения оказывается некая малая величина (положительный квадратичный вычет). Для

, к примеру, имеем решение

, и выполняются сравнения

Таким образом, решение предложенной задачи равносильно не только тесту на простоту, но и факторизации

и вряд ли предполагает простые методы. Речь скорее об алгоритмическом подходе. Что касается составного

— тут возможны различные методы, один из них основан на формуле сложного радикала:
пусть

— основание наименьшего из четных квадратов, сравнимых с единицей по

Тогда

О другом методе поподробней. Возьмем тождество

и подставим вместо всех

-х параметров соответствующие радикалы:

Чтобы величиной последнего квадрата можно было "пренебречь", положим

Тогда

Откинув это в качестве погрешности, получаем

Такая схема действительно выражает общее решение для составного

и хорошо описывается в цепных дробях. Любая пара множителей

взаимно проста, поскольку

свободно от квадратов.
Возьмем

, разложим

и выпишем подходящие дроби, уменьшив последний знак на единицу:

Элементы двух последних дробей возвращают нужные

из описанной выше схемы:

Если мне память не изменяет, Диофант описывает тройки чисел

такие, что все три числа

являются числами вида

Это и есть

О радикалах, правда, он ничего не говорит. Ну, а вопрос прежний: найти

исходя из величины

. Как это с точки зрения теории алгоритмов — совсем безнадежное дело?