Лоренцево сокращение длины и времени

[kzv]

DimaM в сообщении #1568690 писал(а):

Посмотрите Батыгина-Топтыгина, там есть краткий разбор.

Задачу нашел. Действительно похожая. Но какого-то решения или хотя бы ответа не нашел в сборнике.

[мат-ламер]

kzv в сообщении #1568696 писал(а):

адачу нашел. Действительно похожая. Но какого-то решения или хотя бы ответа не нашел в сборнике.

Там в оглавлении указаны номера страниц с ответами. В моём издании 2002 года ответ присутствует на 472 странице. Вопрос б) в у Батыгина-Топтыгина сформулирован настолько же невнятно, как и в вашем стартовом посту. Правда, ответ корректный.

-- Ср ноя 02, 2022 17:58:03 --

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):

А если честно посчитать?

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):

В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс. Когда точка $B$ поравняется с точкой $O$, эти часы покажут 20 нс.

Всё ещё продолжаю считать, что задние часы в момент, когда они достигнут точку $O$, будут показывать $10$ нс. Топик-стартер считает также. (Хотя есть мнение, что у него совпадение с ответом случайное.)

Может кто из физиков выложит свой ответ?

[svv]

Выкладываю ответ. Вот так это выглядит в системе $K$.
Черными точками отмечены интересующие нас события, назовём их $B_0, B_1, B_2$.
Синие цифры возле чёрных точек — время событий по часам $K$, красные — время по часам $K'$. Вообще, всё синее относится $K$, всё красное к $K'$.
Наклоны осей выбраны от балды, и потому нет даже аффинного соответствия, но цифры правильные.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1568707 писал(а):

Вот так это выглядит в системе $K$

Так ли я понимаю, что система $K$ неподвижная (то есть с одними часами), а система $K'$ - подвижная, связанная с движущимся стержнем (то есть с двумя часами - передними и задними)?

[svv]

Да. В системе $K$ стержень движется в положительном направлении оси $Ox$, то есть на картинке — вправо. Стержень — зелёная полоса.
Передний конец стержня — красная линия, на которой подписано $x'=0$, задний $x'=-L$.

[мат-ламер]

Я смущён и заинтригован. Сначала расскажу, как я решал (возможно наивно, без всяких диаграмм и преобразований Лоренца) задачу из Батыгина-Топтыгина (пункт б). Там длина поезда $864$ млн км. Скорость поезда у них $240 000$ км. В начале часы в начале платформы показывают $12$ часов. Я предположил, что поезд в начале стоит. В неподвижной системе отсчёта его конец отстоит от начала платформы на эти самые $864$ млн км. И тут он вдруг начинает двигаться с этой самой скоростью. И время его движения до начала платформы составит $864000000 \slash 240 000 = 3600$ секунд (в неподвижной системе отсчёта). Следовательно часы в начале платформы в этот момент будут показывать $12+1=13$ часов. Часы в хвосте поезда в момент, когда поезд ещё стоял, показывали $12$ часов (во всех системах отсчёта). Лоренцов фактор сокращения времени равняется тут $0.6$ . Значит, когда эти часы поравняются с началом платформы, они будут показывать $12$ часов $36$ минут.

-- Ср ноя 02, 2022 18:42:43 --

Ровно таким же методом я решал и задачу топик-стартера. Сначала у меня получилось, что неподвижные часы в точке $O$ будут показывать $5.2 \slash 0.866c = 20$ наносекунд в момент, когда с ними поравняется конец стержня. Учитывая, что лоренц-фактор тут составляет $0.5$ , получаем, что часы на этом самом заднем конце в этот момент времени будут показывать $10$ наносекунд.

[мат-ламер]

Стоп. Я опубликовал предыдущий пост, считая, что мои ответы совпадают с задачником Батыгина-Топтыгина. Оказывается, я перепутал там часы $A$ и $A'$ и всё в точности наоборот. Мне ещё показалось (напрасно), что Б-Т решают по тем же формулам, что и я. На самом деле у меня ошибка в том, что я считал поезд сначала покоившимся, а потом движущимся. Так считать нельзя. Проще перейти в систему отсчёта, связанную с поездом. Тогда, ровно по тем же формулам задние часы поезда будут показывать $13$ часов, а часы в начале платформы $12$ часов $36$ минут.

Аналогично в задаче топик-стартера часы в конце стержня будут показывать $20$ наносекунд, а неподвижные $10$ наносекунд. Теперь все ответы совпадают. У топик-стартера в первом посту ответ верный. Дальше нет.

[svv]

Отлично! Но я уже написал ответ, не пропадать же ему, может, Вам будет интересно. Я разберу, как бы выглядела Ваша ситуация с точки зрения подвижной инерциальной системы.

мат-ламер в сообщении #1568711 писал(а):

Лоренцов фактор сокращения времени равняется тут $0.6$

Лоренц-фактор $\gamma=\frac 1{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac 5 3$, а не $\sqrt{1-\beta^2}$ (где $\beta=V/c$), и всегда $\gamma\geqslant 1$.

мат-ламер в сообщении #1568711 писал(а):

Я предположил, что поезд в начале стоит. В неподвижной системе отсчёта его конец отстоит от начала платформы на эти самые $864$ млн км. И тут он вдруг начинает двигаться с этой самой скоростью.

Пусть голова и хвост поезда в системе платформы $K$ начали двигаться одновременно. И пусть поезд состоит из двух несвязанных между собой вагонов, головного и хвостового — сейчас будет понятно, зачем так нужно.

Обозначим через $K'$ инерциальную систему, которая движется относительно $K$ со скоростью $V$ "вправо". Я уже не называю $K'$ системой поезда, поскольку поезд в Вашем варианте "скомпрометирован" — движется с ускорением. Смотрите, как выглядит Ваша ситуация в $K'$. Сначала поезд движется "влево" вместе с платформой, имея длину $\frac{\ell_0}{\gamma}=5.184\cdot 10^8\;\text{км}$, причём хвостом вперёд. В 12:00 голова поезда останавливается в $K'$, а хвост продолжает двигаться влево. Лишь в 13:04 хвост также остановится. Но за $\gamma\frac{V\ell_0}{c^2}=64$ минуты хвост проедет ещё $9.216\cdot 10^8\;\text{км}$, так что длина поезда в $K'$, когда оба вагона остановятся, составит $\frac{\ell_0}{\gamma}+\gamma\frac{V^2}{c^2}\ell_0=\gamma\ell_0=14.4\cdot 10^8\;\text{км}$. И условие задачи, что поезд имеет длину $\ell_0$ в $K'$, будет жесточайшим образом нарушено. Зато поезд будет иметь ровно такую длину в системе платформы.

[мат-ламер]

svv в сообщении #1568722 писал(а):

И условие задачи, что поезд имеет $\ell_0$ в $K'$,

Также и с часами. По условию:

kzv в сообщении #1568619 писал(а):

На концах стержня закреплены синхронизированные, в системе отсчета связанной со стержнем, часы.

Если поезд стоит и в нём часы синхронизированы, то после начала движения они уже такими не будут. Я тут ссылался на парадокс близнецов. Но он возникает отчасти из-за того, что сначала близнецы неподвижны относительно друг друга, а потом нет (нет равноправия систем отсчёта).

Спасибо за консультацию!

-- Ср ноя 02, 2022 20:14:18 --

kzv в сообщении #1568619 писал(а):

Я понять не могу: или где-то в решении ошибка или в дальнейших моих рассуждениях: если в момент времени $t^\prime_0=0$ в точке $B$ родится нестабильная частица,

В точке $B$ начальный момент времени будет не $t^\prime_0=0$ (как уже отметили).

[kzv]

мат-ламер в сообщении #1568725 писал(а):

В точке $B$ начальный момент времени будет не $t^\prime_0=0$ (как уже отметили).

Как так? Если по условию часы синхронизированы в системе стержня, то почему по ходу решения их там рассинхронизировали?

-- 02.11.2022, 20:41 --

svv в сообщении #1568707 писал(а):

Выкладываю ответ. Вот так это выглядит в системе $K$.
Черными точками отмечены интересующие нас события, назовём их $B_0, B_1, B_2$.
Синие цифры возле чёрных точек — время событий по часам $K$, красные — время по часам $K'$. Вообще, всё синее относится $K$, всё красное к $K'$.
Наклоны осей выбраны от балды, и потому нет даже аффинного соответствия, но цифры правильные.

Я понимаю эту картинку так: в точке $B$ есть пара часов. Одни синхронизированы в системе отсчета $K$, а другие в системе $K^\prime$. Эта пара часов движется к точке $O$.
Но это не соответствует условию задачи. В задаче есть только одни часы в точке $B$. И получается, по условию, что одни часы двигаются от $B$ к точке $O$ (в системе отсчете $K$), а другие наоборот от $O$ к точке $B$ (в системе $K^\prime$). Ситуация совершенно симметричная в этом случае. Скорости одинаковые, пройденные расстояния - тоже.

[Geen]

kzv в сообщении #1568738 писал(а):

Я понимаю эту картинку так: в точке $B$ есть пара часов.

Неправильно понимаете. Смотрите на синие цифры...

[kzv]

Geen в сообщении #1568746 писал(а):

kzv в сообщении #1568738 писал(а):

Я понимаю эту картинку так: в точке $B$ есть пара часов.

Неправильно понимаете. Смотрите на синие цифры...

Синие цифры - это часы в точке $B$, которые синхронизировали в системе отсчета $K$.
Красные цифры - это часы в точке $B$, которые синхронизировали в системе отсчета $K^\prime$.
Имеем пару часов вместо одних.

[мат-ламер]

kzv в сообщении #1568738 писал(а):

Как так? Если по условию часы синхронизированы в системе стержня, то почему по ходу решения их там рассинхронизировали?

Извиняюсь. Неправильно выразился. В начальный момент времени в системе отсчёта стержня действительно $t'_0=0$. Но в неподвижной системе отсчёта ваша элементарная частица уже прожила $15$ наносекунд.

(Оффтоп)

Извиняюсь. Параллельно слушаю ютуб с новостями и это очень отвлекает.

[Geen]

kzv в сообщении #1568750 писал(а):

Имеем пару часов вместо одних.

Вообще говоря, при каждом событии (именно это правильно называть точкой) имеется континуум часов (синхронизированных самыми разными способами) - и что из этого?

-- 02.11.2022, 21:54 --

Вы спрашивали сколько времени проживёт частица в системе отсчёта $K$ - смотрите синие цифры....

[DimaM]

kzv в сообщении #1568696 писал(а):

Но какого-то решения или хотя бы ответа не нашел в сборнике.

Странно, у меня есть разбор.