2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 16:24 


15/09/20
198
DimaM в сообщении #1568690 писал(а):
Посмотрите Батыгина-Топтыгина, там есть краткий разбор.

Задачу нашел. Действительно похожая. Но какого-то решения или хотя бы ответа не нашел в сборнике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
kzv в сообщении #1568696 писал(а):
адачу нашел. Действительно похожая. Но какого-то решения или хотя бы ответа не нашел в сборнике.

Там в оглавлении указаны номера страниц с ответами. В моём издании 2002 года ответ присутствует на 472 странице. Вопрос б) в у Батыгина-Топтыгина сформулирован настолько же невнятно, как и в вашем стартовом посту. Правда, ответ корректный.

-- Ср ноя 02, 2022 17:58:03 --

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):
А если честно посчитать?

DimaM в сообщении #1568674 писал(а):
В момент прохождения начала стержня через точку $O$ задние часы показывают 15 нс. Когда точка $B$ поравняется с точкой $O$, эти часы покажут 20 нс.

Всё ещё продолжаю считать, что задние часы в момент, когда они достигнут точку $O$, будут показывать $10$ нс. Топик-стартер считает также. (Хотя есть мнение, что у него совпадение с ответом случайное.)

Может кто из физиков выложит свой ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Выкладываю ответ. Вот так это выглядит в системе $K$.
Черными точками отмечены интересующие нас события, назовём их $B_0, B_1, B_2$.
Синие цифры возле чёрных точек — время событий по часам $K$, красные — время по часам $K'$. Вообще, всё синее относится $K$, всё красное к $K'$.
Наклоны осей выбраны от балды, и потому нет даже аффинного соответствия, но цифры правильные.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
svv в сообщении #1568707 писал(а):
Вот так это выглядит в системе $K$

Так ли я понимаю, что система $K$ неподвижная (то есть с одними часами), а система $K'$ - подвижная, связанная с движущимся стержнем (то есть с двумя часами - передними и задними)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Да. В системе $K$ стержень движется в положительном направлении оси $Ox$, то есть на картинке — вправо. Стержень — зелёная полоса.
Передний конец стержня — красная линия, на которой подписано $x'=0$, задний $x'=-L$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Я смущён и заинтригован. Сначала расскажу, как я решал (возможно наивно, без всяких диаграмм и преобразований Лоренца) задачу из Батыгина-Топтыгина (пункт б). Там длина поезда $864$ млн км. Скорость поезда у них $240 000$ км. В начале часы в начале платформы показывают $12$ часов. Я предположил, что поезд в начале стоит. В неподвижной системе отсчёта его конец отстоит от начала платформы на эти самые $864$ млн км. И тут он вдруг начинает двигаться с этой самой скоростью. И время его движения до начала платформы составит $864000000 \slash 240 000 = 3600$ секунд (в неподвижной системе отсчёта). Следовательно часы в начале платформы в этот момент будут показывать $12+1=13$ часов. Часы в хвосте поезда в момент, когда поезд ещё стоял, показывали $12$ часов (во всех системах отсчёта). Лоренцов фактор сокращения времени равняется тут $0.6$ . Значит, когда эти часы поравняются с началом платформы, они будут показывать $12$ часов $36$ минут.

-- Ср ноя 02, 2022 18:42:43 --

Ровно таким же методом я решал и задачу топик-стартера. Сначала у меня получилось, что неподвижные часы в точке $O$ будут показывать $5.2 \slash 0.866c = 20$ наносекунд в момент, когда с ними поравняется конец стержня. Учитывая, что лоренц-фактор тут составляет $0.5$ , получаем, что часы на этом самом заднем конце в этот момент времени будут показывать $10$ наносекунд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Стоп. Я опубликовал предыдущий пост, считая, что мои ответы совпадают с задачником Батыгина-Топтыгина. Оказывается, я перепутал там часы $A$ и $A'$ и всё в точности наоборот. Мне ещё показалось (напрасно), что Б-Т решают по тем же формулам, что и я. На самом деле у меня ошибка в том, что я считал поезд сначала покоившимся, а потом движущимся. Так считать нельзя. Проще перейти в систему отсчёта, связанную с поездом. Тогда, ровно по тем же формулам задние часы поезда будут показывать $13$ часов, а часы в начале платформы $12$ часов $36$ минут.

Аналогично в задаче топик-стартера часы в конце стержня будут показывать $20$ наносекунд, а неподвижные $10$ наносекунд. Теперь все ответы совпадают. У топик-стартера в первом посту ответ верный. Дальше нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Отлично! Но я уже написал ответ, не пропадать же ему, может, Вам будет интересно. Я разберу, как бы выглядела Ваша ситуация с точки зрения подвижной инерциальной системы.
мат-ламер в сообщении #1568711 писал(а):
Лоренцов фактор сокращения времени равняется тут $0.6$
Лоренц-фактор $\gamma=\frac 1{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac 5 3$, а не $\sqrt{1-\beta^2}$ (где $\beta=V/c$), и всегда $\gamma\geqslant 1$.
мат-ламер в сообщении #1568711 писал(а):
Я предположил, что поезд в начале стоит. В неподвижной системе отсчёта его конец отстоит от начала платформы на эти самые $864$ млн км. И тут он вдруг начинает двигаться с этой самой скоростью.
Пусть голова и хвост поезда в системе платформы $K$ начали двигаться одновременно. И пусть поезд состоит из двух несвязанных между собой вагонов, головного и хвостового — сейчас будет понятно, зачем так нужно.

Обозначим через $K'$ инерциальную систему, которая движется относительно $K$ со скоростью $V$ "вправо". Я уже не называю $K'$ системой поезда, поскольку поезд в Вашем варианте "скомпрометирован" — движется с ускорением. Смотрите, как выглядит Ваша ситуация в $K'$. Сначала поезд движется "влево" вместе с платформой, имея длину $\frac{\ell_0}{\gamma}=5.184\cdot 10^8\;\text{км}$, причём хвостом вперёд. В 12:00 голова поезда останавливается в $K'$, а хвост продолжает двигаться влево. Лишь в 13:04 хвост также остановится. Но за $\gamma\frac{V\ell_0}{c^2}=64$ минуты хвост проедет ещё $9.216\cdot 10^8\;\text{км}$, так что длина поезда в $K'$, когда оба вагона остановятся, составит $\frac{\ell_0}{\gamma}+\gamma\frac{V^2}{c^2}\ell_0=\gamma\ell_0=14.4\cdot 10^8\;\text{км}$. И условие задачи, что поезд имеет длину $\ell_0$ в $K'$, будет жесточайшим образом нарушено. Зато поезд будет иметь ровно такую длину в системе платформы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
svv в сообщении #1568722 писал(а):
И условие задачи, что поезд имеет $\ell_0$ в $K'$,

Также и с часами. По условию:
kzv в сообщении #1568619 писал(а):
На концах стержня закреплены синхронизированные, в системе отсчета связанной со стержнем, часы.

Если поезд стоит и в нём часы синхронизированы, то после начала движения они уже такими не будут. Я тут ссылался на парадокс близнецов. Но он возникает отчасти из-за того, что сначала близнецы неподвижны относительно друг друга, а потом нет (нет равноправия систем отсчёта).

Спасибо за консультацию!

-- Ср ноя 02, 2022 20:14:18 --

kzv в сообщении #1568619 писал(а):
Я понять не могу: или где-то в решении ошибка или в дальнейших моих рассуждениях: если в момент времени $t^\prime_0=0$ в точке $B$ родится нестабильная частица,

В точке $B$ начальный момент времени будет не $t^\prime_0=0$ (как уже отметили).

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 20:35 


15/09/20
198
мат-ламер в сообщении #1568725 писал(а):
В точке $B$ начальный момент времени будет не $t^\prime_0=0$ (как уже отметили).

Как так? Если по условию часы синхронизированы в системе стержня, то почему по ходу решения их там рассинхронизировали?

-- 02.11.2022, 20:41 --

svv в сообщении #1568707 писал(а):
Выкладываю ответ. Вот так это выглядит в системе $K$.
Черными точками отмечены интересующие нас события, назовём их $B_0, B_1, B_2$.
Синие цифры возле чёрных точек — время событий по часам $K$, красные — время по часам $K'$. Вообще, всё синее относится $K$, всё красное к $K'$.
Наклоны осей выбраны от балды, и потому нет даже аффинного соответствия, но цифры правильные.
Изображение

Я понимаю эту картинку так: в точке $B$ есть пара часов. Одни синхронизированы в системе отсчета $K$, а другие в системе $K^\prime$. Эта пара часов движется к точке $O$.
Но это не соответствует условию задачи. В задаче есть только одни часы в точке $B$. И получается, по условию, что одни часы двигаются от $B$ к точке $O$ (в системе отсчете $K$), а другие наоборот от $O$ к точке $B$ (в системе $K^\prime$). Ситуация совершенно симметричная в этом случае. Скорости одинаковые, пройденные расстояния - тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
kzv в сообщении #1568738 писал(а):
Я понимаю эту картинку так: в точке $B$ есть пара часов.

Неправильно понимаете. Смотрите на синие цифры...

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 21:46 


15/09/20
198
Geen в сообщении #1568746 писал(а):
kzv в сообщении #1568738 писал(а):
Я понимаю эту картинку так: в точке $B$ есть пара часов.

Неправильно понимаете. Смотрите на синие цифры...

Синие цифры - это часы в точке $B$, которые синхронизировали в системе отсчета $K$.
Красные цифры - это часы в точке $B$, которые синхронизировали в системе отсчета $K^\prime$.
Имеем пару часов вместо одних.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
kzv в сообщении #1568738 писал(а):
Как так? Если по условию часы синхронизированы в системе стержня, то почему по ходу решения их там рассинхронизировали?

Извиняюсь. Неправильно выразился. В начальный момент времени в системе отсчёта стержня действительно $t'_0=0$. Но в неподвижной системе отсчёта ваша элементарная частица уже прожила $15$ наносекунд.

(Оффтоп)

Извиняюсь. Параллельно слушаю ютуб с новостями и это очень отвлекает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение02.11.2022, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
kzv в сообщении #1568750 писал(а):
Имеем пару часов вместо одних.

Вообще говоря, при каждом событии (именно это правильно называть точкой) имеется континуум часов (синхронизированных самыми разными способами) - и что из этого?

-- 02.11.2022, 21:54 --

Вы спрашивали сколько времени проживёт частица в системе отсчёта $K$ - смотрите синие цифры....

 Профиль  
                  
 
 Re: Лоренцево сокращение длины и времени
Сообщение03.11.2022, 07:19 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
kzv в сообщении #1568696 писал(а):
Но какого-то решения или хотя бы ответа не нашел в сборнике.

Странно, у меня есть разбор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group