Гармоническая функция

[volodja]

Пусть $u\colon\mathbf R^N\to\mathbf R$, $N\ge1$, есть такая гармоническая функция, что

$$ \lim_{n\to\infty} \int_{1 \le |x| \le 2} |u(nx)|\, dx = 0. $$

Докажите, что $u \equiv 0$.

[Хорхе]

Теорема про среднее значение.

[Gafield]

Использовать тот факт, что гармоническая функция не может слишком быстро колебаться (оценка производной через модуль самой функции) и вывести из условия поточечное стремление к нулю: $u(x)\to0$ при $x\to\infty$.

[Хорхе]

Gafield писал(а):

Использовать тот факт, что гармоническая функция не может слишком быстро колебаться (оценка производной через модуль самой функции) и вывести из условия поточечное стремление к нулю: $u(x)\to0$ при $x\to\infty$.

Что-то я не понял про оценку производной через модуль. Нельзя ли поподробнее?

[Gafield]

Если $u$ - ограниченная гармоническая функция в шаре $B_R=\{x\in \mathbb R^n:|x|< R\}$, то $|\nabla u(0)|\le \frac CR\sup_{x\in B_R}|u(x)|$.

[volodja]

Gafield писал(а):

Если $u$ - ограниченная гармоническая функция в шаре $B_R=\{x\in \mathbb R^n:|x|< R\}$, то ...

А как вы доказываете, что $u$ ограничена?

[Хорхе]

Gafield писал(а):

Если $u$ - ограниченная гармоническая функция в шаре $B_R=\{x\in \mathbb R^n:|x|< R\}$, то $|\nabla u(0)|\le \frac CR\sup_{x\in B_R}|u(x)|$.

Знакомое неравенство. Только вот теперь непонятно, как Вы оцените супремум через интеграл

[Gafield]

Обозначим $M_r=\max_{|x|=r|} |u|$. Идея такая. Если $u$ не тождественный ноль, то $M_r\to\infty$ при $r\to\infty$. Чтобы интеграл был мал в окрестностях точек $x$, таких, что $u(x)=M_{|x|}$, функия $u$ должна быстро убывать к нулю, что означает большие значения $|\nabla u|$. Получается такой "всплеск", чего быть не должно. Однако, если доказывать аккуратно, то приходится пользоваться теоремой о среднем. Так что, действительно, чезез нее гораздо проще.

[volodja]

Может кто-нибудь написать аккуратное решение?

P.S. Я потом напишу свое решение.

[RIP]

Из теоремы о среднем значении вытекает неравенство

$$|u(x_0)|\le\frac1{R_1-R_0}\int_{R_0}^{R_1}\frac c{r^{N-1}}\int_{|x-x_0|=r}|u(x)|dSdr\le\frac c{(R_1-R_0)R_0^{N-1}} \int_{R_0-|x_0|\le|x|\le R_1+|x_0|}|u(x)|dx.$$

($c^{-1}$ - (N-1)-мерный объём единичной сферы).
Берём $R_0=1.1n$, $R_1=1.9n$ и устремляем $n\to+\infty$.

[volodja]

Обозначим

$$ A(r) := \frac 1{\sigma_N r^{N-1}} \int_{S_r} |u|, $$

т.е. среднее функции $|u|$ по сфере радиуса $r$.

Шаг 1. Из формулы Пуассона вытекает, что для любого $R>0$

$$ \|u\|_{L^\infty(B_{R/2})} \le 2^N A(R). $$

Шаг 2. Условие задачи говорит нам, что

$$ o(1) = n^{-N} \int_{n \le |x| \le 2n} |u(x)| dx = \frac {\sigma_N}n \int_n^{2n} \left( \frac rn \right)^{N-1} A(r) dr \ge \frac {\sigma_N}n \int_n^{2n} A(r) dr. $$

Значит найдется такая последовательность $(r_n)$, что $n < r_n < 2n$ и $A(r_n) \to 0$ при $n\to\infty$.

Привлекая неревенство из Шага 1, получаем, что

$$ \|u\|_{L^\infty(\mathbf R^N)} = \lim_{n\to\infty} \|u\|_{L^\infty(B_{r_n/2})} \le 2^N \lim_{n\to\infty} A(r_n) = 0. $$