преобразовать дифференциальное уравнение

[matan]

Пирняв $u$ и $v$ за новые переменные,преобразовать следующее уравнение:

$x^2z''_{xx}-(x^2+y^2)z''_{xy}+y^2z''_{yy}=0$
где
$u=x+y , v=1/x+1/y$

[mkot]

Воспользуйтесь формулами производной сложной функции:

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}. $$

Подробнее смотрите, например, в Демидовиче в параграфе про частные производные.

[matan]

с частнымы производными первого порядка я разобрался, а вот со вторыми проблема

[mkot]

А в чём трудности-то? Воспользуйтесь тем, что

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) $$

[matan]

а не могли бы Вы привести пример?

[Alexiii]

mkot все наглядно расписал,больше тут и не требуется, подставьте первые производные в выражениях для вычисления вторых и дело с концами.

[mkot]

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) =$$

Теперь распишем производную по приведённой выше формуле:

$$= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}\right) =$$

Воспользуемся линейностью производной и формулой производной произведения

$$= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$

Ну а теперь воспользуйтесь снова формулой производной сложной функции:

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right) = \frac{\partial^2 z}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

Аналогично распишите вторую производную, затем раскройте скобки и приведите подобные.

[Alexiii]

$$ z''_{xx}=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) $$

$$ z''_{yy}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) $$

$$ z''_{xy}=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) $$