2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 преобразовать дифференциальное уравнение
Сообщение08.11.2008, 16:05 
Аватара пользователя
Пирняв $u$ и $v$ за новые переменные,преобразовать следующее уравнение:

$x^2z''_{xx}-(x^2+y^2)z''_{xy}+y^2z''_{yy}=0$
где
$u=x+y , v=1/x+1/y$

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 17:22 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь формулами производной сложной функции:
$$
\frac{\partial z}{\partial x} =
\frac{\partial z}{\partial u}
\frac{\partial u}{\partial x}
+
\frac{\partial z}{\partial v}
\frac{\partial v}{\partial x},
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y} =
\frac{\partial z}{\partial u}
\frac{\partial u}{\partial y}
+
\frac{\partial z}{\partial v}
\frac{\partial v}{\partial y}.
$$

Подробнее смотрите, например, в Демидовиче в параграфе про частные производные.

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 17:24 
Аватара пользователя
с частнымы производными первого порядка я разобрался, а вот со вторыми проблема :cry:

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 17:30 
Аватара пользователя
А в чём трудности-то? Воспользуйтесь тем, что
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)
$$

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 18:00 
Аватара пользователя
а не могли бы Вы привести пример?

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 18:12 
Аватара пользователя
mkot все наглядно расписал,больше тут и не требуется, подставьте первые производные в выражениях для вычисления вторых и дело с концами.

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 18:16 
Аватара пользователя
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) =$$
Теперь распишем производную по приведённой выше формуле:
$$= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}\right) =$$
Воспользуемся линейностью производной и формулой производной произведения
$$= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 
+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)\frac{\partial v}{\partial x}
+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$$
Ну а теперь воспользуйтесь снова формулой производной сложной функции:
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right) = 
\frac{\partial^2 z}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial x} + 
\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$
Аналогично распишите вторую производную, затем раскройте скобки и приведите подобные.

 
 
 
 
Сообщение08.11.2008, 18:18 
Аватара пользователя
$$
z''_{xx}=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)
$$
$$
z''_{yy}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right)
$$
$$
z''_{xy}=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right)
$$

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group