Фактор разрешимой группы разрешим

[xagiwo]

Назовём (бесконечную) группу $G$ разрешимой, если в ней нет нетривиальных подгрупп, совпадающих со своим коммутантом.

Пусть $G$ — группа, $\varphi$ — гомоморфизм из $G$ куда-нибудь. Правда ли, что если в $\varphi(G)$ есть подгруппа, совпадающая со своим коммутантом, то и в $G$ есть такая подгруппа?

[vpb]

Называть такую группу разрешимой нехорошо, потому что термин "разрешимая группа" (применительно в том числе к бесконечным группам) давно и прочно занят. Лучше "псевдоразрешимой".

Нет, неправда. Любая группа есть факторгруппа свободной, любая подгруппа свободной группы свободна (теорема Нильсена-Шрайера), а любая свободная отлична от своего коммутанта.

[xagiwo]

vpb в сообщении #1565896 писал(а):

теорема Нильсена-Шрайера

Загуглил — ужасно сложно. Интересно, нет ли контрпримера проще (или более простого доказательства того, что свободная группа псевдоразрешима).

[vpb]

Да ничего она не сложная. Сейчас подумаю, что бы вам посоветовать в этой связи.

-- 11.10.2022, 03:45 --

Да ничего она не сложная. Сейчас подумаю, что бы вам посоветовать в этой связи.

[xagiwo]

Ой, я, почему-то, подумал, что Вы мне так и не ответили.

vpb в сообщении #1566449 писал(а):

Да ничего она не сложная. Сейчас подумаю, что бы вам посоветовать в этой связи.

Было бы неплохо, спасибо.

[vpb]

xagiwo в сообщении #1567642 писал(а):

Ой, я, почему-то, подумал, что Вы мне так и не ответили.

В самом деле не ответил, извините. Имею ужасную склонность к прокрастинации. На днях всё-таки напишу.

[vpb]

xagiwo
Хотел было я сам написать, чтобы Вы увидели, насколько вопрос прост, но что-то времени нет. Тем более что в подходящих книжках написано ну просто отлично, разве что чуток кратковато.

Значит, книжки:
1) Каргаполов, Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд, гл.5, параграф 14, пункты 14.1, 14.3.
(Предшествующие четыре главы читать совершенно не обязательно, коли уж самые основы про группы знаете. Так же как и пункт 14.2).

2) Про свободные группы (а именно, почему умножение в свободных группах корректно определено и ассоциативно) Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, гл.1, парагр.4 (и всю главу тоже можно прочитать, чисто для освежения в памяти).