Теорема Кантора о несчетности последовательностей 1 и 0

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1567852 писал(а):

Нет, последовательность это не обязательно биекция. Почти никогда не биекция собственно.

Кажется, я понял, в чем недоразумение.

Вот если бы каждый член последовательности был в записи заключен в кружочек, под каждым кружочком было бы написано натуральное число -- для каждого кружочка свое, -- то множество кружочков было бы в биекции с множеством $\mathbb N$, независимо от того, что написано в кружочках, то есть независимо от того, все ли члены последовательности разные или есть повторяющиеся (все кружочки составляли бы множество). Вот, что я имел в виду. Но теперь вижу, что так смотреть не надо.

Но если все члены последовательности разные, то существует биекция между множеством членов последовательности и множеством $\mathbb N$.

mihaild в сообщении #1567852 писал(а):

В теории множеств ничего кроме множеств не бывает. И сама по себе биекция (любая конкретная) - это тоже просто множество определенного вида.

Вы имеете в виду множество отображений $a\mapsto b \;\; a\in A, b\in B$, если $A\to B$ -- биекция?

[Doctor Boom]

eugensk в сообщении #1567831 писал(а):

Да что же это такое... Я помню, как Someone разбирал критику доказательства Кантора, и действительно, находил в ней (критике) много несуразного.

Не только критику, но и доказательство от противного Зенкина Там собственно Зенкин критиковал только свое док-во от противного, а не Кантора

eugensk в сообщении #1567831 писал(а):

Гугл вашей памяти в помощь.

Так вы и загуглите Там все удалили как будто

[Vladimir Pliassov]

Надо принять парадоксальные принципы, например, такой: бесконечность может быть исчерпана, в частности, в (математическом) построении могут быть задействованы все натуральные числа, так что ни одного свободного натурального числа уже не остается. Пример -- разбираемое "диагональное" доказательство.

Цитата:

Теорема 7 (Кантора). Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц несчётно.

$\rhd$ Предположим, что оно счётно. Тогда все последовательности нулей и единиц можно перенумеровать: $\alpha_0, \alpha_1, \ldots$ Составим бесконечную вниз таблицу, строками которой будут наши последовательности:

$$\begin {matrix} \alpha_0=&\alpha_{00}&\alpha_{01}&\alpha_{02}&\ldots\\ \alpha_1=&\alpha_{10}&\alpha_{11}&\alpha_{12}&\ldots\\ \alpha_2=&\alpha_{20}&\alpha_{21}&\alpha_{22}&\ldots\\ \hdotsfor [1.5] {5} \\ \end {matrix} $$

Поскольку таблица уже составлена, все натуральные числа задействованы, и когда затем обнаруживается еще одна последовательность, для нее уже не остается ни одного натурального числа.

[Doctor Boom]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567896 писал(а):

Надо принять парадоксальные принципы, например, такой: бесконечность может быть исчерпана

Мы нигде не исчерпываем бесконечность, мы по сути работаем с актуальными бесконечными объектами, которые существуют как бы "сразу", а не строятся, "исчерпываются" в результате каких-то бесконечных операций. Это все можно формально записать синтаксическими конструкциями из конечного числа строк и алфавита (уже недавно проделывали в соседней теме), это примерно как понятие бесконечности убирается в определении предела по Коши

[Vladimir Pliassov]

Doctor Boom в сообщении #1567910 писал(а):

Мы нигде не исчерпываем бесконечность, мы по сути работаем с актуальными бесконечными объектами

Значит, Вы признаете актуальную бесконечность. Я тоже теперь ее признаю, но мне надо ее еще получше понять (я к ней пришел только вчера). Сегодня я уже начинаю "подозревать", что можно обойтись без исчерпывания бесконечности, а брать ее сразу актуальной, то есть начинаю ее понимать так же, как и Вы. Попытаюсь понять "диагональное" доказательство не так, что

"Поскольку таблица уже составлена, то все натуральные числа задействованы, и когда затем обнаруживается еще одна последовательность, для нее уже не остается ни одного натурального числа"

а так, как написано здесь:

mihaild в сообщении #1526637 писал(а):

У нас есть функция $a: \mathbb N \to (\mathbb N \to \{0, 1\})$, которая из натурального числа делает последовательность (которая тоже является функцией). Зададим последовательность $b$ формулой $b(n) = 1 - a(n)(n)$. Легко показывается, что $\forall k: a(k) \neq b$. Следовательно, $b$ не лежит в образе $a$, т.е. $a$ не является нумерацией всех возможных последовательностей.

Итак, пусть нам дано некоторое отображение $a$ из множества натуральных чисел $\mathbb N$ в множество $X$. Это значит, что каждый элемент $\mathbb N$ отображается в некоторый элемент $X.$ Пусть все элементы, в которые отображаются натуральные числа, составляют подмножество $X'$ множества $X$. Если найдется элемент $b\in X$, такой, что $b\notin X'$, то отображение $a$ не является биекцией. Если отображение $a$ является при этом произвольным, то не существует биекции из $\mathbb N$ в $X$.

Вот, я обошелся без "исчерпывания бесконечности". Кстати, я тоже думаю, что в приведенном доказательстве

mihaild в сообщении #1567819 писал(а):

начальное предположение "предположим, множество счетно" на самом деле не нужно

[Null]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567940 писал(а):

Вы признаете актуальную бесконечность.

Это что то из арифметики. В теории множеств есть бесконечные множества. И аксиомы для работы с ними.

[Vladimir Pliassov]

Null в сообщении #1567943 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1567940 писал(а):

Вы признаете актуальную бесконечность.

Это что то из арифметики. В теории множеств есть бесконечные множества. И аксиомы для работы с ними.

Если приходится иметь дело с бесконечным, надо же его как-то надеть на голову. Поэтому я, как, наверное, многие, пытаюсь создать в своем представлении гибрид бесконечного и конечного, то есть на бесконечные множества смотрю в некоторых отношениях как на конечные.

А что, в арифметике Вы допускаете актуальную бесконечность?

[Null]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1567962 писал(а):

А что, в арифметике Вы допускаете актуальную бесконечность?

Не разбираюсь в этом. Да это философия больше, а не арифметика. В любом случае это к теме ни как не относиться.

[Doctor Boom]

Null в сообщении #1567943 писал(а):

Это что то из арифметики. В теории множеств есть бесконечные множества. И аксиомы для работы с ними.

В арифметике этого тоже нет Это и вправду философия, и в ее терминах в современной математике есть только актуальная бесконечность (которую явно не упоминают, потому что другой нет), и можно легко показать, что из так называемой потенциальной бесконечности следует актуальная бонусом. Хотя не все конструктивисты с этим согласны.