2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложная задача на делимость
Сообщение08.10.2006, 07:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
1. Пусть $a,b$ натуральные числа. Докажите, что если для любого натурального $n$ выполняется:
(1) $(a^n+1)|(b^n+1)$
то или $b=a^k$ $k$ -нечётное, или $a=1, b$ - нечётное.
2. Докажите, что если (1) выполняется для бесконечно много значений $n$, то оно выполняется для всех натуральных $n$ (и соответственно имеет место следствие 1).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 13:12 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Прочитал решение аналогичной задачи(там было $a^n-1$ и $b^n-1$) в одной книжке, и оно действительно сложное. Не зная, с потолка, придумать такую конструкцию нереально. А чего-то логичного и конструктивного предложить не получается. Если кому-то интересно, я могу переписать решение сюда.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Перепишите, если не очень много писать (чтобы сильно не мучиться). А, может, проще дать ссылку на прочитанную книжку ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 14:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
Я встречал 2 различных решения задачи, упомянутой Юстасом. Любой из них применим и для решения первого пункта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 14:45 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Решение в книге В.А. Садовничий "Задачи студенческих мат. олимпиад", задача 27 в разделе теории чисел. Решение строится на одной "убойной" лемме.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Сама лемма достаточно естественна, вообще, поведению $\|c\alpha^n\|$ при разных $\alpha$ посвящено много работ по теории чисел($\|\cdot\|$-расстояние до ближайшего целого). Например, случай c=1, $\alpha=3/2$ очень тесно связан со знаменитой проблемой Варинга. Но вот применение леммы в данной задаче - весьма нетривиальный ход. Первый пункт и правда получается аналогичным рассуждением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 17:39 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
На matlinks e один из модераторов решил задачу более оригинально, и этот способ непосредственно применим и для второй части.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 18:04 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Ссылку на решение можно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Вот где-то здесь http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... asterpiece
но может Руст имеет в виду что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.10.2006, 21:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
В этом же форуме другое решение кажется дал Myth.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная задача на делимость
Сообщение10.08.2016, 01:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5669
Доказательство п. 2 для "-1" вместо "+1" приводится в статье:

par Umberto Zannier, Diophantine equations with linear recurrences: An overview of some recent progress. Journal de Th´eorie des Nombres de Bordeaux 17 (2005), 423–435.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная задача на делимость
Сообщение24.10.2022, 21:36 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5669
См. также

P. Corvaja, U. Zannier. Diophantine equations with power sums and universal Hilbert sets, Indagationes Math., 9 (1998), 317-332.

Y. Bugeaud, P. Corvaja, U. Zannier. An upper bound for the G.C.D. of a^n - 1 and b^n - 1. Math. Z. 243 (2003), 79-84.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group