Сложная задача на делимость

[Руст]

1. Пусть $a,b$ натуральные числа. Докажите, что если для любого натурального $n$ выполняется:
(1) $(a^n+1)|(b^n+1)$
то или $b=a^k$ $k$ -нечётное, или $a=1, b$ - нечётное.
2. Докажите, что если (1) выполняется для бесконечно много значений $n$, то оно выполняется для всех натуральных $n$ (и соответственно имеет место следствие 1).

[Юстас]

Прочитал решение аналогичной задачи(там было $a^n-1$ и $b^n-1$) в одной книжке, и оно действительно сложное. Не зная, с потолка, придумать такую конструкцию нереально. А чего-то логичного и конструктивного предложить не получается. Если кому-то интересно, я могу переписать решение сюда.

[Brukvalub]

Перепишите, если не очень много писать (чтобы сильно не мучиться). А, может, проще дать ссылку на прочитанную книжку ?

[Руст]

Я встречал 2 различных решения задачи, упомянутой Юстасом. Любой из них применим и для решения первого пункта.

[Юстас]

Решение в книге В.А. Садовничий "Задачи студенческих мат. олимпиад", задача 27 в разделе теории чисел. Решение строится на одной "убойной" лемме.

[RIP]

Сама лемма достаточно естественна, вообще, поведению $\|c\alpha^n\|$ при разных $\alpha$ посвящено много работ по теории чисел($\|\cdot\|$-расстояние до ближайшего целого). Например, случай c=1, $\alpha=3/2$ очень тесно связан со знаменитой проблемой Варинга. Но вот применение леммы в данной задаче - весьма нетривиальный ход. Первый пункт и правда получается аналогичным рассуждением.

[Руст]

На matlinks e один из модераторов решил задачу более оригинально, и этот способ непосредственно применим и для второй части.

[Юстас]

Ссылку на решение можно?

[juna]

Вот где-то здесь http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... asterpiece
но может Руст имеет в виду что-то другое.

[Руст]

В этом же форуме другое решение кажется дал Myth.

[maxal]

Доказательство п. 2 для "-1" вместо "+1" приводится в статье:

par Umberto Zannier, Diophantine equations with linear recurrences: An overview of some recent progress. Journal de Th´eorie des Nombres de Bordeaux 17 (2005), 423–435.

[maxal]

См. также

P. Corvaja, U. Zannier. Diophantine equations with power sums and universal Hilbert sets, Indagationes Math., 9 (1998), 317-332.

Y. Bugeaud, P. Corvaja, U. Zannier. An upper bound for the G.C.D. of a^n - 1 and b^n - 1. Math. Z. 243 (2003), 79-84.