x+xy+y=54. x,y-целые положительные

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
$x+xy+y=54$ где $x,y$-целые положительные. Понятно, что подбором легко найти такие числа. Я увидел видео на ютубе. Мое решение основано на том, что справа стоит четное число, значит $x,y$ должны быть четными. Заменил $x=2m,y=2n$
Тогда
$2m+4mn+2n=54$
$m+2mn+n=27$
Теперь $m=2k+1, n=2p$
$2k+1+2(2k+1)(2p)+2p=27$
$2k+6p+8pk=26$
$k+3p+4pk=13$
Значит $p=1$ и $k=2$. $m=5,n=2$
$x=10,y=4$
На ютубе, другое решение. Основано на произведении чисел, которое получается после прибавления $1$.
Первый вопрос, на каком уровне можно уже давать такие примеры? класс 6? Также интересует, может в моих рассуждениях есть неточности.

[Null]

Неточность - о решении $x=4,y=10$ ни слова.
6 Класс, да. Вроде там учат раскрывать скобки в выражениях с буквами.

[Andrey A]

Ivan 09 в сообщении #1567310 писал(а):

$x+xy+y=54$ где $x,y$-целые положительные.

Ivan 09 в сообщении #1567310 писал(а):

... Основано на произведении чисел, которое получается после прибавления $1$.

Тут уже и вопрос и ответ. Ваши рассуждения только усложняют дело.
Пара наводящих вопросов:
1) Какие числа нужно поставить вместо числа $54$ (в правой части), чтобы уравнение стало неразрешимо?
2) Как выглядит подобное уравнение из $3$-х переменных?

(Оффтоп)

То, что к обеим частям равенства можно прибавить единицу, и оно останется верным, — понятно и во $2$-м классе,
а факторизовать выражение в левой части все равно придется. Ваше утверждение

Ivan 09 в сообщении #1567310 писал(а):

$k+3p+4pk=13$ Значит $p=1$ и $k=2$

предполагает перебор значений, который плохо тянет на решение даже при малых числах.

[Ivan 09]

Andrey A
Null
Спасибо за ответы.

Andrey A в сообщении #1567319 писал(а):

2) Как выглядит подобное уравнение из $3$-х переменных?

Одна переменная должна быть в квадрате, и также уравнение должно содержать произведение трех остальных. Например,
$xy+xz+zy+x^2=k$ ?

Andrey A в сообщении #1567319 писал(а):

1) Какие числа нужно поставить вместо числа $54$ (в правой части), чтобы уравнение стало неразрешимо?

$(x+1)(1+y)=54+1$
Такие числа, при добавлении единицы к которым они становились простым числом?

Null в сообщении #1567316 писал(а):

Неточность - о решении $x=4,y=10$ ни слова.

Да, моя ошибка.

[Andrey A]

Ivan 09 в сообщении #1567333 писал(а):

Такие числа, при добавлении единицы к которым они становились простым числом?

Да, верно. То есть числа вида $p-1$, где $p$ — простое.

Ivan 09 в сообщении #1567333 писал(а):

$xy+xz+zy+x^2=k$ ?

Не знаю, откуда Вы берете квадрат. $(x+1)(y+1)(z+1)-1=xyz+xy+xz+yz+x+y+z.$ Уравнение $xyz+xy+xz+yz+x+y+z=104$ — "трехмерная" аналогия Вашего уравнения.