Плоскости умножения в комплексном пространстве

[mihaild]

Да, это один из способов построить конечномерное векторное пространство нужной размерности. С бесконечномерныи нужно уточнять.
Я не уверен, что говорить о суммах векторных пространств проще, чем сразу рассмотреть например пространство функций с данным конечным доменом.

[Vladimir Pliassov]

Я написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1566950 писал(а):

Как я понимаю, аддитивной абелевой группой любого $n$-мерного векторного пространства является именно аддитивная абелева группа поля, над которым строится пространство,

но это, конечно, не так (тут на меня нашло затмение). То есть, как я понимаю, да, именно аддитивная абелева группа поля, над которым строится одномерное векторное пространство -- и только она, -- является аддитивной абелевой группой этого пространства, но аддитивной абелевой группой $n$-мерного пространства при $n>1$ является декартово произведение $n$ копий множества, на котором построено поле, при введенном сложении элементов полученного декартова произведения и умножении его элементов на элементы поля.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1566968 писал(а):

аддитивная абелева группа поля, над которым строится одномерное векторное пространство -- и только она, -- является аддитивной абелевой группой этого пространства

Тут нужно уточнить, что значит "одна группа является другой". Обычно осмысленно рассматривать группы только с точностью до изоморфизма. Тогда будет результат, что аддитивная группа одномерного пространства изоморфна аддитивной группе поля, а для более чем одноимённого- как повезёт, зависит от поля.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1566986 писал(а):

Тут нужно уточнить, что значит "одна группа является другой". Обычно осмысленно рассматривать группы только с точностью до изоморфизма. Тогда будет результат, что аддитивная группа одномерного пространства изоморфна аддитивной группе поля

Да, наверное, с точностью до изоморфизма, я так и думал, но мне еще надо разобраться как следует, что значит "с точностью до изоморфизма."

Для меня очень важно было понять, что аддитивная группа одномерного пространства изоморфна аддитивной группе поля, над которым строится это пространство (при $n>1$ аддитивная группа пространства возникает понятным образом на основе аддитивной группы поля), потому что, как я уже писал, раньше я думал, что берется произвольная аддитивная абелева группа, на ней задается умножение на элементы также произвольного поля, и получается векторное пространство.

mihaild в сообщении #1566986 писал(а):

а для более чем одноимённого- как повезёт, зависит от поля.

Вы имеете в виду "для более чем одномерного"?

mihaild в сообщении #1566958 писал(а):

Я не уверен, что говорить о суммах векторных пространств проще, чем сразу рассмотреть например пространство функций с данным конечным доменом.

Рассмотрим пространство функций с данным конечным доменом $X$ в общем виде (домен функции, как я понимаю, это, во всяком случае, множество ее аргументов).

Пусть дано множество $X$ мощности $n$ и произвольное поле $K$. Декартово перемножим множество $X$ на множество $K$. Полученное декартово произведение $X\times K$ можно представить в виде матрицы (в случае бесконечного поля число элементов в каждой ее строке будет бесконечно), элементами которой будут всевозможные пары элементов, по одному из $X$ и $K$ в каждой паре.

На каждой строке этой матрицы можно задать сложение ее элементов по правилу:

$$(x_i, \alpha)+(x_i, \beta)=(x_i, \alpha+\beta) \;\; x_i\in X, \alpha, \beta\in K$$

($i$ -- номер строки) и умножение ее элементов на элементы поля $K$ по правилу:

$$(x_i, \alpha)\cdot \beta=(x_i, \alpha \cdot \beta)$$

таким образом на каждой $i$-ой строке матрицы задается одномерное векторное пространство $V_i$, векторами $u_i$ которого (то есть функциями с доменом $X$) являются пары вида $(x_i, \alpha)$ (все аксиомы векторного пространства соблюдаются).

Далее надо взять внешнюю прямую сумму этих $n$ пространств, чтобы получить $n$-мерное векторное пространство $V$.

Для этого возьмем сначала декартово произведение всех строк нашей матрицы, получим множество $V$, элементами которого будут упорядоченные наборы векторов

$(u_1, u_2, \ldots, u_n) \;\; u_i\in V_i$, то есть пар $\big((x_1, \alpha), (x_2, \beta), \ldots , (x_n, \eta)\big)$. На этом множестве зададим сложение его элементов по правилу:

$$u+v=(u_1, u_2, \ldots, u_n)+(v_1, v_2, \ldots, v_n)=\big((x_1, \alpha), (x_2, \beta), \ldots , (x_n, \eta)\big)+\big((x_1, \gamma), (x_2, \delta), \ldots , (x_n, \xi)\big)=$$

$$=(u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)=\big((x_1, \alpha)+(x_1, \gamma), (x_2, \beta)+(x_2, \delta), \ldots (x_n, \eta)+(x_n, \xi)\big)=$$

$$=\big((x_1, \alpha+ \gamma), (x_2, \beta+ \delta), \ldots , (x_n, \eta+\xi)\big)\;\; u, v\in V, \;\; \alpha, \beta, \gamma, \delta, \eta, \xi \in K$$

и умножение его элементов на элементы поля $K$ по правилу:

$$u\cdot \gamma=(u_1, u_2, \ldots, u_n)\cdot \gamma=(u_1\cdot \gamma, u_2\cdot \gamma, \ldots, u_n\cdot \gamma)=$$

$$=\big((x_1, \alpha), (x_2, \beta), \ldots , (x_n, \eta)\big)\cdot \gamma=\big((x_1, \alpha)\cdot \gamma, (x_2, \beta)\cdot \gamma, \ldots , (x_n, \eta)\cdot \gamma\big)=$$

$$=\big((x_1, \alpha\cdot \gamma), (x_2, \beta\cdot \gamma), \ldots , (x_n, \eta\cdot \gamma)\big).$$

Таким образом мы получили $n$-мерное векторное пространство $V$.

Отмечу, что его размерность равна мощности множества $X$, а также то, что вектор $u_i\in V_i$ приобретает вид

$\big((x_1, 0), \ldots, (x_i, \alpha), \ldots,(x_n, 0)\big)$. При этом нулевой вектор получает вид $\big((x_1, 0), \ldots, (x_i, 0), \ldots,(x_n, 0)\big)$, и тогда все строки нашей

матрицы пересекаются в этом элементе (это необходимо в прямой сумме пространств), чего не было, когда вектор $u_i\in V_i$ имел вид $(x_i, \alpha)$.

Если же вместо пространства функций с данным конечным доменом взять пространство, построенное на декартовом произведении $n$ копий множества, на котором построено поле (как у меня), то будет все то же самое, но вместо пар будут отдельные элементы поля $K$, то есть будет проще (если я не ошибаюсь).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567009 писал(а):

Вы имеете в виду "для более чем одномерного"?

Да. Автокоррекция терминов очень забавные результаты даёт иногда.

Ваше построение правильное, но получается слишком сложным, потому что вы по сути заново вводите понятие функции.
Собственно если воспринимать декартову степень множества как множество всевозможных функций из $1\ldots n$ в поле, то определения эквивалентно получаются.

Имхо вы слишком много времени тратите на разбирательство с векторными пространствами "как с множествами". Ничего плохого в этом нет, но ничего интересного тоже не найдёте.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1566986 писал(а):

аддитивная группа одномерного пространства изоморфна аддитивной группе поля

Этого не достаточно: моя цель выяснить, какая аддитивная абелева группа может использоваться для построения одномерного векторного пространства, и я думал, что это только абелева группа поля, над которым строится это пространство, но обнаружил утверждение

Цитата:

Группа $(\mathbb R, +)$ изоморфна группе $(\mathbb C, +)$ всех комплексных чисел по сложению. Википедия.

И еще:

Цитата:

Пример 3. Пусть $K$ подполе поля $L$. Тогда $L$ можно рассматривать как векторное пространство над $K$, определив умножение элементов из $L$ на элементы из $K$ просто как умножение в $L$. В частности, поле $\mathbb C$ есть в этом смысле векторное пространство над $\mathbb R$.

Винберг, http://mathprofi.com/uploads/files/2581 ... 0d4d87caf3, стр. 33

Это значит, что одну и ту же аддитивную группу $(\mathbb C, +)$ можно взять и над полем $\mathbb C$, и над полем $\mathbb R$ и получить при этом разные пространства: $\mathbb C$ над $\mathbb C$ это одномерное комплексное пространство, а $\mathbb C$ над $\mathbb R$ -- двухмерное вещественное.

И тогда получается, что принцип, который я предложил: взять аддитивную группу поля и на ней ввести умножение на элементы этого поля, чтобы получить единственно возможное одномерное векторное пространство над этим полем, -- не работает, потому что, если взять аддитивную группу поля $\mathbb R$ и ввести на ней умножение на элементы этого поля, то получим одномерное векторное пространство $\mathbb R$, но над этим же полем существует также и одномерное векторное пространство $\mathbb C$, с другой абелевой группой.

Так что принцип, наверное, должен быть несколько иной: берем аддитивную группу $(L, +)$ произвольного поля $L$, вводим умножение ее элементов на элементы этого поля, получаем векторное пространство $V$. При наличии у поля $L$ подполя $L'$, вводим умножение элементов группы $(L, +)$ на элементы подполя $L'$, получаем пространство $V'$ и так далее.

Например,

1) берем аддитивную группу $(\mathbb C, +)$ поля $\mathbb C$, вводим умножение ее элементов на элементы этого поля, получаем векторное пространство $\mathbb C$,

2) берем аддитивную группу $(\mathbb C, +)$, вводим умножение ее элементов на элементы подполя $\mathbb R$ поля $\mathbb C$, получаем пространство $\mathbb C'$,

3) берем аддитивную группу $(\mathbb C, +)$, вводим умножение ее элементов на элементы подполя $\mathbb Q$, которое является подполем подполя $\mathbb R$, получаем пространство $\mathbb C''$.

Или

1) берем аддитивную группу $(\mathbb R, +)$ поля $\mathbb R$, вводим умножение ее элементов на элементы этого поля, получаем векторное пространство $\mathbb R$,

2) берем аддитивную группу $(\mathbb C, +)$, вводим умножение ее элементов на элементы подполя $\mathbb Q$ поля $\mathbb R$, получаем пространство $\mathbb R'$.

[Vladimir Pliassov]

Заметил ошибку в п. 2):

Vladimir Pliassov в сообщении #1567065 писал(а):

1) берем аддитивную группу $(\mathbb R, +)$ поля $\mathbb R$, вводим умножение ее элементов на элементы этого поля, получаем векторное пространство $\mathbb R$,

2) берем аддитивную группу $(\mathbb C, +)$, вводим умножение ее элементов на элементы подполя $\mathbb Q$ поля $\mathbb R$, получаем пространство $\mathbb R'$.

Должно быть:

1) берем аддитивную группу $(\mathbb R, +)$ поля $\mathbb R$, вводим умножение ее элементов на элементы этого поля, получаем векторное пространство $\mathbb R$,

2) берем аддитивную группу $(\mathbb R, +)$, вводим умножение ее элементов на элементы подполя $\mathbb Q$ поля $\mathbb R$, получаем пространство $\mathbb R'$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567065 писал(а):

какая аддитивная абелева группа может использоваться для построения одномерного векторного пространства, и я думал, что это только абелева группа поля, над которым строится это пространств

Так и есть. Точное утверждение: аддитивная группа одномерного пространства изоморфна аддитивной группе поля. Ничего более конкретного сказать нельзя, она может быть изоморфна аддитивной группе и других векторных пространств.
Я подозреваю что вам действительно нудно разобраться

Vladimir Pliassov в сообщении #1567009 писал(а):

что значит "с точностью до изоморфизма."

Потому что пока что вы кажется тратите существенное время на попытки найти в довольно базовых вещах то, чего в них нет.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1567107 писал(а):

аддитивная группа одномерного пространства изоморфна аддитивной группе поля.

Да, аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ поля $\mathbb C$, взятая над полями $\mathbb C, \mathbb R$ и $\mathbb Q$, дает три разных пространства $\mathbb C, \mathbb C'$ и $\mathbb C''$, при этом она -- как аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ каждого из этих пространств -- изоморфна аддитивным группам всех этих трех полей (изоморфна $(\mathbb C, +), (\mathbb R, +)$ и $(\mathbb Q, +)$), однако совпадает только с одной из этих трех групп (и на это я обратил внимание), то есть она, например, как аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ пространства $\mathbb C'$, не совпадает с аддитивной группой $(\mathbb R, +)$ его поля $\mathbb R$, хотя и изоморфна ей.

Поэтому я и говорю, что изоморфизма не достаточно, нужно совпадение.

[$(\mathbb C, +)$ -- это обозначение как аддитивной группы поля $\mathbb C$, так и аддитивной группы пространства $\mathbb C$,

$(\mathbb R, +)$ -- это обозначение как аддитивной группы поля $\mathbb R$, так и аддитивной группы пространства $\mathbb R$,

$(\mathbb Q, +)$ -- это обозначение как аддитивной группы поля $\mathbb Q$, так и аддитивной группы пространства $\mathbb Q$].

[Пространства $\mathbb C, \mathbb C'$ и $\mathbb C''$ можно обозначить как, соответственно, $\big((\mathbb C, +), \mathbb C \big), \big((\mathbb C, +), \mathbb R \big)$ и $\big((\mathbb C, +), \mathbb Q \big)$ (в каждых больших скобках на первом месте стоит аддитивная группа пространства, на втором -- его поле).]

mihaild в сообщении #1567107 писал(а):

она может быть изоморфна аддитивной группе и других векторных пространств.

Да, аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ одномерного пространства $\mathbb C$ изоморфна аддитивным группам $(\mathbb R, +)$ и $(\mathbb Q, +)$ одномерных пространств, соответственно, $\mathbb R$ и $\mathbb Q$, но не совпадает с ними. Она совпадает с аддитивными группами двухмерных пространств $\mathbb C'$ и $\mathbb C''$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567130 писал(а):

изоморфна аддитивным группам всех этих трех полей (изоморфна $(\mathbb C, +), (\mathbb R, +)$ и $(\mathbb Q, +)$), однако совпадает только с одной из этих трех групп

Различать изоморфные группы или говорить об их совпадении обычно бессмысленно (кроме как когда они рассматриваются как подгруппы одной группы).

Vladimir Pliassov в сообщении #1567130 писал(а):

Да, аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ одномерного пространства $\mathbb C$ изоморфна аддитивным группам $(\mathbb R, +)$ и $(\mathbb Q, +)$ одномерных пространств, соответственно, $\mathbb R$ и $\mathbb Q$

Первое да, второе нет, просто исходя их мощности.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1567135 писал(а):

Первое да, второе нет, просто исходя их мощности.

Понятно. Надо переделать:

1. Аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ поля $\mathbb C$, взятая над полями $\mathbb C, \mathbb R$ и $\mathbb Q$, дает три разных пространства $\mathbb C, \mathbb C'$ и $\mathbb C''$, при этом она -- как аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ каждого из этих пространств -- изоморфна аддитивным группам первых двух полей (изоморфна $(\mathbb C, +)$ и $(\mathbb R, +)$), однако совпадает только с одной из этих двух групп, то есть она как аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ пространства $\mathbb C'$, не совпадает с аддитивной группой $(\mathbb R, +)$ его поля $\mathbb R$, хотя и изоморфна ей.

2. Аддитивная группа $(\mathbb C, +)$ одномерного пространства $\mathbb C$ изоморфна аддитивной группе $(\mathbb R, +)$ одномерного пространства $\mathbb R$, но не совпадает с ней. Она совпадает с аддитивными группами двухмерных пространств $\mathbb C'$ и $\mathbb C''$.

Но то, что $(\mathbb Q, +)$ не изоморфно $(\mathbb C, +)$, это даже лучше: это значит, что существуют пространства с одними и теми же аддитивными группами и при этом с неизоморфными аддитивными группами своих полей,

например, пространства $\mathbb C$ и $\mathbb C''$ имеют одну и ту же аддитивную группу $(\mathbb C, +)$), и при этом их поля $\mathbb C$ и, соответственно, $\mathbb Q$ имеют неизоморфные аддитивные группы $(\mathbb C, +)$ и, соответственно, $(\mathbb Q, +)$.

Пытался найти подсказку, являются ли поля $\mathbb C$ и $\mathbb R$ изоморфными, не нашел, а сам пока не сообразил.

Но ясно, что поля $\mathbb C$ и $\mathbb Q$ уж точно неизоморфны. Так что существуют пространства с одними и теми же аддитивными группами и при этом с неизоморфными полями.

mihaild в сообщении #1567135 писал(а):

Различать изоморфные группы или говорить об их совпадении обычно бессмысленно (кроме как когда они рассматриваются как подгруппы одной группы)

Почему бессмысленно? Ведь, например, $(\mathbb C, +)$ и $(\mathbb R, +)$ имеют разные составы элементов, то есть это не равные друг другу математические объекты. И именно потому, что они отличаются друг от друга, пространства $\mathbb C'$ и $\mathbb R$ также отличаются друг от друга как пространства, имеющие над одним и тем же полем $\mathbb R$ разные аддитивные группы $(\mathbb C, +)$ и, соответственно, $(\mathbb R, +)$.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567160 писал(а):

Почему бессмысленно?

Потому что интересно изучать явно введённые операции, а не технические детали их реализации.
Между вещественными и комлексными числами важна разница именно в устройстве операций - например, в комплексных числах из любого числа извлекается квадратный корень, а в вещественных нет.
Вы же когда говорите о вещественных числах, не уточняете, какую из многих их моделей берете? Вам важно только что используемые операции во всех моделях устроены одинаково.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567160 писал(а):

Пытался найти подсказку, являются ли поля $\mathbb C$ и $\mathbb R$ изоморфными, не нашел, а сам пока не сообразил.

Пусть у нас есть сложение и умножение, и мы хотим узнать, что перед нами за структура - вещественные или комплексные числа. Как нам, для начала, отличить единицу от остальных элементов? Как, найдя единицу, отличить мнимую единицу от всех вещественных чисел?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1567295 писал(а):

Как нам, для начала, отличить единицу от остальных элементов?

Единица при умножении на элемент $a$ дает элемент $a$ как в вещественном, так и в комплексном поле.

mihaild в сообщении #1567295 писал(а):

Как, найдя единицу, отличить мнимую единицу от всех вещественных чисел?

Квадрат единицы равен единице, квадрат мнимой единицы равен минус единице -- квадрат никакого из вещественных чисел не равен отрицательному числу.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1567465 писал(а):

Квадрат единицы равен единице, квадрат мнимой единицы равен минус единице -- квадрат никакого из вещественных чисел не равен отрицательному числу.

Правильно. Какой тогда полный ответ на ваш вопрос

Vladimir Pliassov в сообщении #1567160 писал(а):

являются ли поля $\mathbb C$ и $\mathbb R$ изоморфными

и какое полное обоснование?