2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему

Если n=4, то k=...
2 0%  0%  [ 0 ]
3 50%  50%  [ 2 ]
4 50%  50%  [ 2 ]
Всего голосов : 4
 
 Загадка об многочленах
Сообщение18.10.2022, 22:42 


13/11/13
11
Дано натуральное число $n\ge 2$. Определите наименьшее такое натуральное $k$, что существуют натуральные числа $t_1 > t_2 >\dots>t_k\ge n$ и рациональные функции $\varphi$ и $\psi$ от $k$ переменных, такие, что
$x = \varphi(x^{t_1} - y^{t_1}, x^{t_2} - y^{t_2},..,x^{t_k} - y^{t_k})$
$y = \psi(x^{t_1} - y^{t_1}, x^{t_2} - y^{t_2},..,x^{t_k} - y^{t_k})$
:D :D :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение18.10.2022, 23:00 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Голосование в олимпиадной задаче? Это ещё зачем?
Тогда почему нет варианта: "если $n=4$, то $k=5$" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение18.10.2022, 23:05 


13/11/13
11
Gagarin1968 в сообщении #1567092 писал(а):
Голосование в олимпиадной задаче? Это ещё зачем?
Тогда почему нет варианта: "если $n=4$, то $k=5$" ?

Дело в том, что кто-то может почувствовать какой ответ правильный, но доказать не может, этот человек сможет воспользоваться опросом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение19.10.2022, 00:49 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Так вот, если совсем по-простому, $k=4$ хочется уже для $n=2$: сконструируем $x^2$ из $x^2-y^2$ и $x^4-y^4$, а потом аналогично $x^3$ из $x^3-y^3$ и $x^6-y^6$. По этой же схеме $k=4$ годится для любого $n$, но, возможно, есть более продвинутая техника

-- 19.10.2022, 01:19 --

Впрочем, $x^6-y^6$ можно построить из степеней $2,4$, так что для $n=2$ достаточно $k=3$

-- 19.10.2022, 01:33 --

Ну да, для любого $n$ достаточно $k=3$, возьмем степени $n,2n-1,2n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение19.10.2022, 10:39 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
waxtep в сообщении #1567097 писал(а):
Ну да, для любого $n$ достаточно $k=3$, возьмем степени $n,2n-1,2n$
Ой нет, так в лоб-то это работает только для $n=2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение20.10.2022, 12:56 


02/04/18
240
waxtep в сообщении #1567108 писал(а):
Ой нет, так в лоб-то это работает только для $n=2$

Так-то в лоб для любого $n$ гарантированно хватит четырех степеней: так как, как и указали выше, из $x^n-y^n, x^{2n}-y^{2n}$ всегда "рациональным образом" получается $x^n, y^n$, то берем $n, n+1, 2n, 2n+2$, делим одну комбинацию на другую, и готово.
В явном виде, обозначая $r_m=x^m-y^m$:
$$x=\frac{r_n}{r_{n+1}}\frac{r_{2n+2}+r_{n+1}^2}{r_{2n}+r_n^2}, y=\frac{r_n}{r_{n+1}}\frac{r_{2n+2}-r_{n+1}^2}{r_{2n}-r_n^2}$$
Но, видимо, для каких-то специфичных $n$ можно подсократить.

Обобщая, можно брать степени $m, 2m, l, 2l$, тогда мы получим $x^m, x^l$ соответственно, а значит, любые линейные комбинации $am+bl$, где $a, b$ - целые. Если среди них есть единица, то задача решена, но для этого необходимо, чтобы $m, l$ были взаимно просты. Чтобы убрать "лишнюю" степень, нужно, чтобы она получалась из уже найденного. Например, $2l$ делилось на $m$. В силу взаимной простоты - 2 делится на $m$, что (при ограничении в условии задачи) возможно лишь при $m=2$, то есть таким образом можно сократить $k$ до трех можно для $n=2$.

Пока такой вывод: либо ответ $k=4$, либо был упущен еще какой-то трюк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение14.07.2023, 01:39 


13/11/13
11
Что же никто не решил?
Досадно.
Тогда дам подсказку:
алгебра $\mathbb{Q}[x^n - y^n, x^m - y^m]$ конечна над $\mathbb{Q}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Загадка об многочленах
Сообщение14.07.2023, 10:55 


13/11/13
11
Galua в сообщении #1600929 писал(а):
Что же никто не решил?
Досадно.
Тогда дам подсказку:
алгебра $\mathbb{Q}[x^n - y^n, x^m - y^m]$ конечна над $\mathbb{Q}$.


UPD: Над $\mathbb{Q}[x, y]$.[/quote] конечно же, извините.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group