Skipper, вот Вы задаете вопрос: "Существует ли множество с промежуточной между
![$\aleph_0$ $\aleph_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/3/05337ee7dbe333d118d371bc95c44f7a82.png)
и
![$\mathfrak{c}$ $\mathfrak{c}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/9/689e20af44d21deecff67e5d3eff52d682.png)
мощностью?". Вопрос выглядит вполне нормально. Кажется очевидным, что на него есть только 2 ответа: "да" или "нет". Причем эти ответы взаимоисключающие. Но все немного сложнее. Что вообще значит слово "существует" в этом вопросе?
Формалист Вам скажет, что прежде чем задаваться такими вопросами нужно выбрать формальную теорию множеств. Самая распространенная - это
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
, поэтому выбираем ее. Далее он Вам ответит, что существуют только те множества, которые можно построить средствами этой формальной теории (т.е.
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
). Т.е. под множествами формалист понимает специальным образом написанные строчки на специальном языке по определенным правилам. Я - не формалист. Я могу, например, произнести фразу: "Рассмотрим множество всех групп". Формалист мне скажет, что такого множества нету и будет (в его картине мира) прав. Я действительно не смогу построить в
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
строчку, которая будет интерпретироваться как множество всех групп. И вот Вы спрашиваете формалиста "Существует ли множество с промежуточной между
![$\aleph_0$ $\aleph_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/3/05337ee7dbe333d118d371bc95c44f7a82.png)
и
![$\mathfrak{c}$ $\mathfrak{c}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/9/689e20af44d21deecff67e5d3eff52d682.png)
мощностью?". Он Вас просит, как обычно, выбрать формальную теорию множеств, Вы выбираете
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
и он дает вам странный ответ про "недоказуемо средствами
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
". Что это значит? А это значит, что построить такое множество, как специальную строчку в
![$ZFC$ $ZFC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/0/2008136f873069a865a4ab1c0ddc03c082.png)
нельзя - и это доказано. Но и
доказать, что его не существует - т.е. что его существование противоречит каким-либо аксиомам ZFC - тоже нельзя. И это тоже доказано.
Именно поэтому я Вам сказал, что "Не для всех". Для формалистов кроме "да" и "нет" существует вариант "недоказуемо средствами данной формальной теории". Этот третий вариант и есть для них абсолютная истина.
Но не все в этом мире формалисты. Я, например, считаю, что на этот вопрос все же существует однозначный ответ "да" или "нет". Формалист мне может сказать: "В рамках какой формальной теории ты рассуждаешь?". Но я знаю формалистов, поэтому я на такие провокации не поддаюсь
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Таким образом, все упирается в то, как мы понимаем слово "существует" по отношению к множеству. Другими словами, какие средства построения множеств мы считаем законными. Мы можем, например, вообще все средства считать законными. Тогда у нас будет такое средство построения множеств, как декларация их существования. Мы говорим, что то или иное множество существует, даже если мы не приложили никаких усилий к его построению, а просто задекларировали его существование. Тогда для нас и множество промежуточной мощности будет существовать. Но я думаю нет нужды объяснять, что это довольно сомнительное средство построения множеств.