Континуум-гипотеза: как понять?

[eugensk]

Skipper в сообщении #1566452 писал(а):

Почему только конечные? В данной последовательности подмножеств, мы можем продолжать до бесконечной длины построение, значит и бесконечные войдут?

Допустим, в последовательности есть бесконечные множества. Какое-то из них встретится в последовательности первым, назовем его $X$, ему предшествует конечное множество. Элементов в множестве $X$ не больше, чем в предшествующем, плюс один. Значит, оно конечное, противоречие. $\square$

[mihaild]

Skipper в сообщении #1566452 писал(а):

В данной последовательности

А что такое последовательность?
Вообще на самом деле чтобы определить последовательность уже нужно бесконечное множество, аксиома бесконечности из остальных не выводится. Но я еще условно готов согласиться, что натуральные числа кое-как примерно можно представить (на самом деле нет, но это менее понятно, чем с вещественными). Но счетного числа шагов вам, чтобы построить булеан натуральных чисел, естественно, не хватит.

[gefest_md]

Почему бы не заменить аксиому бесконечности на аксиому существования множества натуральных чисел. Что теряем? А мощность множества известна по определению.

[mihaild]

gefest_md в сообщении #1566470 писал(а):

Почему бы не заменить аксиому бесконечности на аксиому существования множества натуральных чисел. Что теряем?

Аксиома бесконечности по сути и утверждает, что существует множество, подмножеством которого являются натуральные числа. А дальше натуральные числа легко строятся как пересечение всех таких множеств.

[gefest_md]

Я подумал, что если знать множества каких мощностей можно получить прямо из аксиом, то это может сообщить что-то о мощностях множеств, полученных в более поздних теоремах.

[Skipper]

Допустим будет выведено, что
1) если мы принимаем континуум-гипотезу, (или что аналогично, аксиому детерминированности в нашу систему аксиом, из которой следует континуум гипотеза), то из этого следует, что пар простых чисел-близнецов (отличающихся на два, к пример, $11$, $13$, или $101$, $103$) - бесконечное количество,

2) а если мы не принимаем континуум гипотезу, т.е. принимаем аксиому, из которой следует, что она ложна, и существуют множества с промежуточной мощность между счётным и континуальным -
то из этого следует что пар простых чисел-близнецов - лишь конечное количество.

(ну а без принятия подобных аксиом, будет доказано, что это утверждение недоказуемо, так же и отрицание этого утверждения недоказуемо),

Но существует некая, "абсолютная истина", так как их в самом деле, не может быть и бесконечное и конечное количество (как кот Шредингера, "и жив и мёртв" одновременно).
Как мне тогда в жизни считать, что их лишь конечное количество, или же бесконечное?

[EminentVictorians]

Skipper в сообщении #1566502 писал(а):

Допустим будет выведено, что...

Это будет значить, что про это утверждение-следствие (про простые числа близнецы в Вашем случае) тоже ничего нельзя будет сказать средствами $ZFC$. Мне кажется, что вот это дополнение про средства $ZFC$ Вы игнорируете, а оно тут принципиально важно.

Skipper в сообщении #1566502 писал(а):

Но существует некая, "абсолютная истина"

Не для всех. Для тех, кто живет в рамках формальных теорий есть третий вариант "недоказуемо средствами данной формальной теории".

[mihaild]

gefest_md в сообщении #1566477 писал(а):

Я подумал, что если знать множества каких мощностей можно получить прямо из аксиом, то это может сообщить что-то о мощностях множеств, полученных в более поздних теоремах

Ничего не понял.
Вот можно получить мощность $\aleph_2$ - минимальная мощность ординала, имеющего мощность больше хоть какого-то ординала, имеющего мощность больше счетной. Для доказательства её существования достаточно ZF, даже аксиома выбора не нужна.
Можно получить $\beth_1$ - мощность множества всех подмножеств минимального индуктивного множества. Её существование опять же доказывается в ZF.
А дальше вопрос - как соотносятся $\aleph_2$ и $\beth_1$? И из ZF получить ответ нельзя: может одно больше, может другое, может равны, может вообще несравнимы.

Skipper в сообщении #1566502 писал(а):

Но существует некая, "абсолютная истина"

Кто сказал?
Я еще могу смириться с тем, что существует "абсолютная истина" для $\Sigma_1$-формул (можно ли вот прям взять и на бумажке написать нужное число). Что "на самом деле" что-то там верно про бесконечные последовательности - мне совсем не очевидно.

[Skipper]

EminentVictorians в сообщении #1566506 писал(а):

Skipper в сообщении #1566502 писал(а):

Но существует некая, "абсолютная истина"

Не для всех...

mihaild в сообщении #1566512 писал(а):

Skipper в сообщении #1566502 писал(а):

Но существует некая, "абсолютная истина"

Кто сказал?
...
Что "на самом деле" что-то там верно про бесконечные последовательности - мне совсем не очевидно.

Тогда можно отрицать и само существование континуума как такового. Континуум "существует" или не существует в зависимости от аксиом ZF ? А я могу не признать некоторых аксиом, из которых существование его следует, и тогда у меня мощность будет масимальной - у счётного бесконечного множества. Вот вы писали,

Цитата:

А это еще что за зверь? Для него нужно в конечном итоге множество всех подмножеств натуральных чисел, что я бы довольно условно назвал "построением"

Но вы же верите в существование континуума?
Вот и я хочу понять, в моём случае, можно ли тогда мне верить в любое рассуждение, что таких чисел-близнецов, бесконечное или конечное количество..

[EminentVictorians]

Skipper, вот Вы задаете вопрос: "Существует ли множество с промежуточной между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ мощностью?". Вопрос выглядит вполне нормально. Кажется очевидным, что на него есть только 2 ответа: "да" или "нет". Причем эти ответы взаимоисключающие. Но все немного сложнее. Что вообще значит слово "существует" в этом вопросе?

Формалист Вам скажет, что прежде чем задаваться такими вопросами нужно выбрать формальную теорию множеств. Самая распространенная - это $ZFC$, поэтому выбираем ее. Далее он Вам ответит, что существуют только те множества, которые можно построить средствами этой формальной теории (т.е. $ZFC$). Т.е. под множествами формалист понимает специальным образом написанные строчки на специальном языке по определенным правилам. Я - не формалист. Я могу, например, произнести фразу: "Рассмотрим множество всех групп". Формалист мне скажет, что такого множества нету и будет (в его картине мира) прав. Я действительно не смогу построить в $ZFC$ строчку, которая будет интерпретироваться как множество всех групп. И вот Вы спрашиваете формалиста "Существует ли множество с промежуточной между $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ мощностью?". Он Вас просит, как обычно, выбрать формальную теорию множеств, Вы выбираете $ZFC$ и он дает вам странный ответ про "недоказуемо средствами $ZFC$". Что это значит? А это значит, что построить такое множество, как специальную строчку в $ZFC$ нельзя - и это доказано. Но и

Mikhail_K в сообщении #1566357 писал(а):

доказать, что его не существует - т.е. что его существование противоречит каким-либо аксиомам ZFC - тоже нельзя. И это тоже доказано.

Именно поэтому я Вам сказал, что "Не для всех". Для формалистов кроме "да" и "нет" существует вариант "недоказуемо средствами данной формальной теории". Этот третий вариант и есть для них абсолютная истина.

Но не все в этом мире формалисты. Я, например, считаю, что на этот вопрос все же существует однозначный ответ "да" или "нет". Формалист мне может сказать: "В рамках какой формальной теории ты рассуждаешь?". Но я знаю формалистов, поэтому я на такие провокации не поддаюсь

Таким образом, все упирается в то, как мы понимаем слово "существует" по отношению к множеству. Другими словами, какие средства построения множеств мы считаем законными. Мы можем, например, вообще все средства считать законными. Тогда у нас будет такое средство построения множеств, как декларация их существования. Мы говорим, что то или иное множество существует, даже если мы не приложили никаких усилий к его построению, а просто задекларировали его существование. Тогда для нас и множество промежуточной мощности будет существовать. Но я думаю нет нужды объяснять, что это довольно сомнительное средство построения множеств.

[warlock66613]

EminentVictorians в сообщении #1566563 писал(а):

Я могу, например, произнести фразу: "Рассмотрим множество всех групп". Формалист мне скажет, что такого множества нету и будет (в его картине мира) прав.

Любой математик скажет практически то же самое. И Кантор сказал бы то же самое. Существование такого множества неочевидно и требует доказательства. Для математика ("неформалиста") "доказательство" означает несколько иное чем, для логика ("формалиста"), но разница не так уж велика.

[Mikhail_K]

EminentVictorians в сообщении #1566563 писал(а):

Далее он Вам ответит, что существуют только те множества, которые можно построить средствами этой формальной теории (т.е. $ZFC$). Т.е. под множествами формалист понимает специальным образом написанные строчки на специальном языке по определенным правилам.

Нет, это скорее позиция конструктивизма.
Формалист может допускать существование множеств в рамках ZFC, которые нельзя построить средствами ZFC и нельзя представить в виде "специальным образом написанной строчки".
Для формалиста важно представить в виде такой строчки не само множество, а утверждение о его существовании, и затем это утверждение можно доказывать или опровергать средствами ZFC. При этом формалисту не обязательно искать у этого утверждения содержательный смысл, т.е. он не будет задаваться вопросом "что такое существует".

[mihaild]

Skipper в сообщении #1566553 писал(а):

Континуум "существует" или не существует в зависимости от аксиом ZF ?

Да.

Skipper в сообщении #1566553 писал(а):

А я могу не признать некоторых аксиом, из которых существование его следует, и тогда у меня мощность будет масимальной - у счётного бесконечного множества

Можете. Правда на вас обидятся, что вы называете эти вещи континуумом и счетным множеством, потому что обычно о них говорят в теории, более-менее похожей на хотя бы ZF.

EminentVictorians в сообщении #1566563 писал(а):

Далее он Вам ответит, что существуют только те множества, которые можно построить средствами этой формальной теории

Нет. Формалист скажет, что множества, существование которых доказуемо в этой теории, существуют, существование которых опровержимо - не существуют, а про остальные он не знает.

EminentVictorians в сообщении #1566563 писал(а):

Я, например, считаю, что на этот вопрос все же существует однозначный ответ "да" или "нет".

А в чем тут разница между теорией множеств и теорией групп? В теории групп (точнее теории группы (одной)) можно задать вопрос "существуют ли два не коммутирующих элемента", и ответ на него опять же не выводится. Почему вас не смущает, что существуют разные группы, но смущает, что существуют разные юниверсумы множеств?

EminentVictorians в сообщении #1566563 писал(а):

Я могу, например, произнести фразу: "Рассмотрим множество всех групп".

Пока вы не начнете с ним делать что-то странное - например пытаться брать его булеан - рассуждения, скорее всего, можно будет формализовать обратно в ZF, везде вместо принадлежности к множеству записав соответствующий предикат.

[EminentVictorians]

warlock66613 в сообщении #1566565 писал(а):

И Кантор сказал бы то же самое.

Хм, да? Мне казалось, что для него это было бы обычным, нормально определенным множеством.

Mikhail_K в сообщении #1566566 писал(а):

Формалист может допускать существование множеств в рамках ZFC, которые нельзя построить средствами ZFC и нельзя представить в виде "специальным образом написанной строчки".

Да, это важное замечание, соглашусь. Я как-то забыл, что для того, чтобы доказать существование множества в $ZFC$, предъявлять его непосредственное построение необязательно. Можно доказать и косвенно. Если Вы об этом моменте, то я согласен. Единственное, что определять множество ведь все равно придется как строчку в $ZFC$. Даже взять это множество с промежуточной мощностью. Построить средствами $ZFC$ его нельзя, но определить то ведь можно. А это будет тоже "специальным образом написанная строчка".

mihaild в сообщении #1566568 писал(а):

Почему вас не смущает, что существуют разные группы, но смущает, что существуют разные юниверсумы множеств?

С какой-то стороны даже не очень и смущает. Я понимаю, что если взять какую-нибудь супер слабую теорию множеств, то и ее универсум будет маленький. Если взять теорию множеств повыразительнее - универсум будет побольше. В такой постановке мне понятно про разные универсумы. И если развивать эту мысль дальше, то $ZFC$ меня смущает уже на этом этапе - ее универсум кажется мне маленьким. На самом деле, она смущает в первую очередь далеко не этим.

mihaild в сообщении #1566568 писал(а):

Пока вы не начнете с ним делать что-то странное - например пытаться брать его булеан - рассуждения, скорее всего, можно будет формализовать обратно в ZF

Ха Булеан - это еще безобидные игрушки)) Я бы взял все группы, все гомоморфизмы между ними, образовал бы из них категорию $\mathbf{Grp}$, взял бы еще какую-нибудь категорию $\mathbf{X}$, построили бы категорию $\mathbf{Grp^X}$ функторов из $\mathbf{X}$ в $\mathbf{Grp}$, рассмотрел бы диагональный функтор $\triangle: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Grp^X}$ и попробовал бы найти какой-нибудь копредел. (И кстати это не совсем бессмысленный набор слов; частный случай этой конструкции дает выход на амальгамы).

Но повторюсь, формальные теории множеств не нравятся мне по другим причинам. Мне кажется неправильной сама логика исторического появления формального метода. Для того, чтобы все понимали друг друга однозначно, он не нужен. Единственная цель его появления мне видится в попытке избежать парадоксы. Та цена, которую мы платим за эту цель, кажется мне неоправданно высокой.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1566592 писал(а):

Единственное, что определять множество ведь все равно придется как строчку в $ZFC$. Даже взять это множество с промежуточной мощностью. Построить средствами $ZFC$ его нельзя, но определить то ведь можно. А это будет тоже "специальным образом написанная строчка".

Тут нужно сказать, про каккую именно строчку речь. Чтобы сказать "мы доказали существование множества", нужно чтобы эта строчка была собственно доказательством существования. Так-то и предикат, который определяет множество всех множеств записать можно, не получится только записать доказательство того, что существует множество, ему удовлетворяющее.

EminentVictorians в сообщении #1566592 писал(а):

Я понимаю, что если взять какую-нибудь супер слабую теорию множеств, то и ее универсум будет маленький

Наоборот - чем слабее теория, тем больше у неё моделей (если язык фиксирован).