Поток вектора

[George M]

Здравствуйте, я столкнулся с следующей задачей:

Мне задана функция плотности электрического тока:

$$ \vec{j}(\vec{r},t) = \frac{\rho\vec{v}}{[1+\frac{(\vec{r}-\vec{v}t)^{2}}{a^{2}}]^{2}} $$

$$ v_{x},v_{y},v_{z} = const $$

Моя задача в том, чтобы найти плотность заряда $\rho(\vec{r},t)$, если при ${t\to\infty}$ заряд равен нулю и полный ток вдоль оси $z$, т.е поток $\vec{j}$ через плоскость $z=z_{0}=const$

Моя попытка в этом разобраться:

Воспользуемся следующей фишкой для заданной мне функции $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-1}{v} \frac{\partial f}{\partial t}$

Тогда можно воспользоваться уравнением непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} +div(\vec{j})=0 $$

Отсюда следует (постоянную обнуляем в силу граничных условий).

$$ \rho = \frac{j_{x}}{v_{x}}+\frac{j_{y}}{v_{y}}+\frac{j_{z}}{v_{z}} $$

Верны ли мои действия?

С потоком у меня есть некоторые трудности, я не до конца понимаю, как это реализуется в вычислительном плане. Направление нормали совпадает с направлением оси $z$. Тогда мне нужно посчитать интеграл:

$$ \displaystyle \oint{j_{z_{0}}}{dS}}$$

Но при фиксированной координате $z_{0}$ и фиксированном времени, кажется, что он равен $j_{z_{0}}\cdot S$

Но я думаю, что я не прав и неправильно вычисляю интеграл, не могли бы вы мне помочь?

[DimaM]

George M в сообщении #1566457 писал(а):

Тогда мне нужно посчитать интеграл:

$$\displaystyle \oint{j_{z_{0}}{dS}}$$

По-моему, нужно посчитать интеграл

$$\displaystyle \int{j_{z_{0}}{dS}}.$$

Не по замкнутой поверхности, а по плоскости.

George M в сообщении #1566457 писал(а):

Но при фиксированной координате $z_{0}$ и фиксированном времени, кажется, что он равен $j_{z_{0}}\cdot S$

Ну вообще-то $j_{z_{0}}=j(x,y,z_0)$, а $x$ и $y$ переменны.

[George M]

Да, вы действительно правы, я посчитал следующий интеграл и пришёл вот к такому ответу:

$$ \displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\rho v_{z}}{[1+\frac{(x-v_{x}t)^{2} + (y-v_{y}t)^{2}+(z_{0}-v_{z_{0}}t)^{2}}{a^{2}}]^{2}} dxdy = \frac{\rho v_{z}\pi a^{4}}{a^{2}+(v_{z}t-z_{0})^{2}} $$