Странности в штриховке ответа иррационального неравенства

[kisvadim]

Добрый день!
Решаю неравенство из книги "Алгебра и начала анализа 10-11" Алимова. №170.4 $\sqrt{3x-2}>x-2$. ОДЗ $x\geqslant\frac{2}{3}$. Возведя обе части в квадрат, получаю неравенство $1 < x < 6$. Рисую ось x, на которой отмечаю точки $\frac{2}{3}$, 1, 6. Штрихую интервал от 1 до 6. Потом делаю штриховку в другую сторону $x\geqslant\frac{2}{3}$. Обычно ответ на неравенство — пересечение штриховок. Тут штриховки пересекаются на интервале $1 < x < 6$. Но ответ на неравенство $\frac{2}{3} \leqslant x < 6$. Никак не могу понять, почему метод штриховок дает неправильный ответ. Заранее спасибо за подсказки.

[eugensk]

Посмотрите, что у вас не так при $x=1$, например.

[kisvadim]

eugensk в сообщении #1566157 писал(а):

Посмотрите, что у вас не так при $x=1$, например.

Ключевые точки «x» я подставлял и проверял по ним, все понятно. Непонятно, почему метод штриховок не сработал. Т.е. я понимаю, почему такой ответ.

[eugensk]

kisvadim в сообщении #1566156 писал(а):

Возведя обе части в квадрат, получаю неравенство

Когда можно возвести обе части в квадрат, и неравенство сохраняется?

[kisvadim]

eugensk в сообщении #1566159 писал(а):

kisvadim в сообщении #1566156 писал(а):

Возведя обе части в квадрат, получаю неравенство

Когда можно возводить обе части в квадрат, и неравенство сохраняется?

Когда выражение не отрицательно. Неравенство выполняется также, когда $x - 2 \leqslant 0$, т.е. $x \leqslant 2$

Решением системы

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \\1 < x < 6 \\x \geqslant \frac{2}{3} \end{array} \right.$$

является интервал $1 < x < 6$
Почему обычно, когда штрихуешь интервалы, все правильно (пересечение штриховок — ответ), но только не в этом случае. Тут мы взяли в ответ участок $[\frac{2}{3}; 1)$, но не взяли $x > 6$.

[eugensk]

kisvadim в сообщении #1566160 писал(а):

Почему обычно, когда штрихуешь интервалы, все правильно (пересечение штриховок — ответ), но только не в этом случае

Не стану утверждать, что понял вопрос, так, общее замечание:
нет никакого метода штриховки интервалов - это просто способ записи ваших рассуждений, если они ошибочны, то "метод" не работает, вот и всё.

[Mihr]

kisvadim в сообщении #1566160 писал(а):

Почему обычно, когда штрихуешь интервалы, все правильно (пересечение штриховок — ответ), но только не в этом случае.

И в этом случае тоже всё в порядке. Просто нужно понимать, когда следует брать пересечение промежутков, а когда - их объединение. Пересечение мы строим, когда решаем систему неравенств. Объединение - когда решаем совокупность неравенств. В данном случае нужно было рассмотреть два разных случая: $x<2$ и $x \geqslant 2$. То бишь, следовало рассмотреть совокупность двух систем неравенств. При решении каждой из этих систем мы ищем пересечение получающихся в ходе решения промежутков. Но на последнем этапе, когда объединяем решения полученных систем, строим уже объединение промежутков. Где именно Вы споткнулись, сказать затруднительно, потому что, если бы это произошло лишь в последнем действии (при взятии вместо объединения промежутков их пересечения), то Вы получили бы в качестве ответа пустое множество. А это, вроде бы, не так. Поэтому если хотите увидеть свою ошибку, выкладывайте своё полное решение. Думаю, разберёмся

[gefest_md]

kisvadim

$\forall x\in\mathbb{R}\left(\sqrt{3x-2}>x-2\Leftrightarrow x\in A\right)$

Пусть $x\in\mathbb{R}$

$\left(\Rightarrow\right)$. Пусть $\sqrt{3x-2}>x-2$.

Случай 1. $x-2\geqslant 0.$. Тогда следует $x\in\left[2,\ 6\right)\cup A_1=A.$

Случай 2. $x-2<0.$ Тогда следует $x\in\left[\frac23,\ 2\right)\cup A_2=A.$

$(\Leftarrow).$ Пусть $x\in A$ ...

[eugensk]

gefest_md
Непонятно, и запутает ТС (и не только ТС): что есть $A_1$, $A_2$, почему $A$ равно то одному то другому, какое следствие проверяем, не зная $A$ и т.д.

- Лучше бы Вы поправили прямо в ответе.

[gefest_md]

eugensk
$A_1$ и $A_2$ должны быть в каком-то смысле минимальными. Вместо $A_1$ подставляем полуинтервал из второго случая, а вместо $A_2$ - из первого.

[kisvadim]

Большое спасибо! Действительно стало понятно.

[gefest_md]

eugensk в сообщении #1566167 писал(а):

- Лучше бы Вы поправили прямо в ответе.

Когда я пишу первый раз $A_1$ в случае 1, я ещё не знаю, что подставлю вместо него пока не рассмотрю случай 2. Но в направлении $(\Leftarrow)$ вместо $A$ можно было подставить найденное в первом направлении множество $A.$