Неевклидовы геометрии и первый постулат Евклида

[StepV]

Уважаемые форумчане! При чтении литературы по неевклидовой геометрии тип геометрии всегда определяется
пятым постулатом о параллельности прямых. У меня возник вопрос, почему для этого не пользуются
первым постулатом. На мой взгляд он дает возможность задать более мощные системы неевклидовой геометрии.
Может быть уже доказано, что изменение первого постулата приведет к противоречию в создании системы аксиом такой
геометрии? Или по другим причинам?
Если же были такие попытки, может кто-то может подсказать литературу? Я в интернете ничего похожего не нашел.
Вот простой пример для варианта первого постулата некоей неевклидовой геометрии.
Аксиома 1 Между двумя точками плоскости можно провести бесконечное множество прямых.
Аксиома 2 Если три точки лежат на одной прямой, то это единственная прямая, которую можно провести через эти точки
Такой набор аксиом может соответствовать плоскости, в которой прямой будет соответствовать параболическая траектория точки.

Конечно, не гарантирую, что этот пример приводит к некоей согласованной системе аксиом неевклидовой геометрии.
Пример приведен в контексте требований форума, как пример возможного варианта формулировки первого постулата.
Мне кажется, что он демонстрирует возможности этого постулата для задания различных геометрий пространства.

[StepV]

Уважаемые форумчане! Я нашел еще одну красивую формулировку для первого постулата Евклида.
Вариант 2.
Аксиома 1. Между любыми двумя точками плоскости можно провести две прямые.
Аксиома 2. Если прямая проходит через точки $A$, $B$ и $|AB|=L$, то, если на этой прямой взять точки $C$ и $D$ такие, что $|CD|=L$, то данная прямая является одной из двух прямых, которые соединяют точки $C$ и $D$.
Аксиома 3. Если на отрезке прямой между точками $A$ и $B$ взять две точки $C$ и $D$, то через них можно провести две прямые при чем, ни одна из них не будет совпадать с прямой $AB$, на которой эти точки лежат.
Аксиома 4. Если мы определим на двух прямых, соединяющих точки $A$,$B$ по точке, находящейся на равном расстоянии от $A$ или $B$, то расстояние между этими точками всегда будет меньше некоторого числа $\varepsilon$.

Эта группа аксиом совпадает с первым постулатом, если $\varepsilon=0$. В аксиомах число 2 можно заменить и на 3, 4 ...
Подумав над этой схемой, я пришел к выводу, что, по-видимому, можно найти такую непротиворечивую комбинацию аксиом неевклидовой геометрии с измененным первым постулатом, что пятый окажется стандартным, т.е. через точку над прямой можно провести одну параллельную прямую. При этом плоскость останется неевклидовой! Тема мне кажется очень интересной!

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении мне лучше идти, какие книги помогут сформулировать и проверить эту задачу на более серьезном математическом уровне.

[Mikhail_K]

StepV в сообщении #1564738 писал(а):

При чтении литературы по неевклидовой геометрии тип геометрии всегда определяется
пятым постулатом о параллельности прямых. У меня возник вопрос, почему для этого не пользуются
первым постулатом.

StepV в сообщении #1564738 писал(а):

Такой набор аксиом может соответствовать плоскости, в которой прямой будет соответствовать параболическая траектория точки.

Видимо, в этом и причина: описанная Вами геометрия не кажется чем-то необычным и интересным, а кажется обычной плоской геометрией, в которой зачем-то назвали "прямыми" какое-то семейство кривых линий. Причём даже непонятно, какое именно; поэтому есть предположение, что построить богатую теорию на такой аксиоматике будет затруднительно.

Когда в XIX веке создавались неевклидовы геометрии, пятый постулат считался самым неочевидным из постулатов Евклида, что и навело на мысль заменить его противоположным утверждением и посмотреть, что получится.

А сейчас, в XXI веке, постулаты Евклида вообще мало кого интересуют. Современная геометрия (как евклидова, так и неевклидова) использует в качестве фундамента не их, а конструкции линейного пространства, евклидова пространства, риманова пространства. Поэтому вполне может быть, что никто и не пробовал хулиганить с первым постулатом.

Кстати, если Вам интересна эта тема, в любом случае забывайте про слова "первый постулат", "пятый постулат". Используйте хотя бы аксиомы Гильберта (современную версию постулатов Евклида) - их там заметно больше пяти.

StepV в сообщении #1564810 писал(а):

Аксиома 1. Между любыми двумя точками плоскости можно провести две прямые.
Аксиома 2. Если прямая проходит через точки $A$, $B$ и $|AB|=L$, то, если на этой прямой взять точки $C$ и $D$ такие, что $|CD|=L$, то данная прямая является одной из двух прямых, которые соединяют точки $C$ и $D$.
Аксиома 3. Если на отрезке прямой между точками $A$ и $B$ взять две точки $C$ и $D$, то через них можно провести две прямые при чем, ни одна из них не будет совпадать с прямой $AB$, на которой эти точки лежат.

Это выглядит странно.
Надо ли понимать аксиому 1 так, что через любые две несовпадающие точки проходят ровно две прямые? Тогда аксиома 2 является просто следствием аксиомы 1, а вот аксиома 3 противоречит аксиоме 1: там получается, что через точки $C$ и $D$ проходят три разные прямые (включая $AB$).

[Gagarin1968]

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

Надо ли понимать аксиому 1 так, что через любые две несовпадающие точки проходят ровно две прямые?

Mikhail_K
Разумеется нет. Очевидно ТС имел в виду, что через любые две несовпадающие точки проходят по меньшей мере две прямые. Тогда нет ни избыточных, ни противоречивых аксиом.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

зачем-то назвали "прямыми" какое-то семейство кривых линий.

Да, в неевклидовых геометриях термин "прямая" заменяют на "геодезическая". Но я, пока, не уверен в возможности пользоваться этим термином. В соответствии с аксиомами из предыдущего поста через две точки могут проходить линии меньшей длины, чем прямые, но которые не могут определять расстояние между этими точками в соответствии с аксиомами.

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

аксиома 3 противоречит аксиоме 1: там получается, что через точки $C$ и $D$ проходят три разные прямые (включая $AB$).

Противоречия, как бы, нет. Но ваш вопрос для той модели плоскости, которую я придумал, остается. Модель взята очень простая. Принимаем следующее правило: если на плоскости взять две точки, то "геодезическими"-"прямыми" между ними будут две половинки окружности, у которой диаметр опирается на эти точки. Из этого правила выведены четыре аксиомы. Тогда возникает ваш вопрос, если взять две точки на окружности, которые меньше ее диаметра, то для определения расстояния нужно использовать построение окружности меньшего диаметра. Т.е длина дуги, на которой взяты эти две точки, не может определять расстояние между этими точками.
По-видимому, не хватает еще одной аксиомы?

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

Современная геометрия (как евклидова, так и неевклидова) использует в качестве фундамента не их, а конструкции линейного пространства, евклидова пространства, риманова пространства.

Поднятая мной тема, меня сильно заинтересовала. Хочется сформулировать задачу в современных терминах. Как я понимаю, мне необходимо для этого осилить какую-то литературу по римановой геометрии.
Нашел несколько книг. Книги потребуют, как я понимаю, от меня пары лет изучения, т.к. тензорный аппарат сложный, а университетские воспоминания о тензорном анализе уже довольно смутные.
Нашел
Дубровин ..."Современная геометрия"
Новиков, Тайманов ..."Современные геометрические структуры и поля"
Рашевский... "Риманова геометрия и тензорный анализ".

Уважаемые коллеги! Подскажите, пожалуйста, какую из этих книг лучше выбрать? Или может существует другой набор книг, который поможет мне понять тему на современном уровне?