Расчёт погрешности через частные производные и через ln

[Kevsh]

Есть метод подсчёта относительной погрешности через логарифм, вот как-то так это работает:
$y=f(x)$
$\ln{y}=\ln{f(x)}$
$\frac{dy}{y}=\frac{df(x)}{f(x)}$
$\frac{\Delta y}{y}=\delta y=\frac{\Delta f(x)}{f(x)}$
Также есть стандартный метод (через частные производные):
$y=f(x)$
$\Delta y=|\frac{\partial f(x)}{\partial x}|\Delta x$
$\delta y = \frac{\Delta y}{y}$
Если функция от нескольких переменных, то сумма частных производных (с модулями).
Так вот, получается, что данные методы дают разный результат. Чему можно больше доверять?
Допустим, при $y=\frac{x_2+x_3+x_4}{x_1+x_2+x_3+x_4},\delta x_1=\delta x_2=\delta x_3=\delta x_4=0,1\%;$
$x_1=500;x_2=300;x_3=100;x_4=100$
через логарифм у меня получается $\delta y = 0,2\%$, а через частные производные $\delta y = 0,1\%$. Странно. Получается, что методы не совсем эквивалентные?

[GAA]

Kevsh в сообщении #1565192 писал(а):

$\frac{\Delta y}{y}=\delta y=\frac{\Delta f(x)}{f(x)}$

Kevsh в сообщении #1565192 писал(а):

$\delta y = \frac{\Delta y}{y}$

Оба «метода» дают одно и то же выражение с точностью до обозначений. Для [приближённого] вычисления $\Delta f$ или $\Delta y$ в случае нескольких переменных потребуется вычислить частные производные. Ответ [в линейном приближении, т.е. с использованием первых производных] у меня совпал с Вашим 0.1%.
Если же приращение функции вычислять не через частные производные, то, конечно, в подавляющем числе случаев, ответ будет другим.
Upd. Или пусть частные производные, но не ограничиваться только первыми частными производными.
К слову $\frac{y(x_1-x_1\delta x/100, x_2+x_2\delta x/100, x_3+x_3\delta x/100, x_4+x_4\delta x/100)-y(x_1, x_2, x_3, x_4)}{y(x_1, x_2, x_3, x_4)} 100 \%= 0.1\%$