2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расчёт погрешности через частные производные и через ln
Сообщение21.09.2022, 19:08 


19/11/20
297
Москва
Есть метод подсчёта относительной погрешности через логарифм, вот как-то так это работает:
$y=f(x)$
$\ln{y}=\ln{f(x)}$
$\frac{dy}{y}=\frac{df(x)}{f(x)}$
$\frac{\Delta y}{y}=\delta y=\frac{\Delta f(x)}{f(x)}$
Также есть стандартный метод (через частные производные):
$y=f(x)$
$\Delta y=|\frac{\partial f(x)}{\partial x}|\Delta x$
$\delta y = \frac{\Delta y}{y}$
Если функция от нескольких переменных, то сумма частных производных (с модулями).
Так вот, получается, что данные методы дают разный результат. Чему можно больше доверять?
Допустим, при $y=\frac{x_2+x_3+x_4}{x_1+x_2+x_3+x_4},\delta x_1=\delta x_2=\delta x_3=\delta x_4=0,1\%;$
$x_1=500;x_2=300;x_3=100;x_4=100$
через логарифм у меня получается $\delta y = 0,2\%$, а через частные производные $\delta y = 0,1\%$. Странно. Получается, что методы не совсем эквивалентные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчёт погрешности через частные производные и через ln
Сообщение21.09.2022, 19:30 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
Kevsh в сообщении #1565192 писал(а):
$\frac{\Delta y}{y}=\delta y=\frac{\Delta f(x)}{f(x)}$
Kevsh в сообщении #1565192 писал(а):
$\delta y = \frac{\Delta y}{y}$
Оба «метода» дают одно и то же выражение с точностью до обозначений. Для [приближённого] вычисления $\Delta f$ или $\Delta y$ в случае нескольких переменных потребуется вычислить частные производные. Ответ [в линейном приближении, т.е. с использованием первых производных] у меня совпал с Вашим 0.1%.
Если же приращение функции вычислять не через частные производные, то, конечно, в подавляющем числе случаев, ответ будет другим.
Upd. Или пусть частные производные, но не ограничиваться только первыми частными производными.
К слову $\frac{y(x_1-x_1\delta x/100, x_2+x_2\delta x/100, x_3+x_3\delta x/100, x_4+x_4\delta x/100)-y(x_1, x_2, x_3, x_4)}{y(x_1, x_2, x_3, x_4)} 100 \%= 0.1\%$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group